حل مسألة الاحتمالات بالرياضيات (مسألة رياضيات)

80% من الصف أجابوا على السؤال الأول بشكل صحيح، بينما أجاب 55% على السؤال الثاني بشكل صحيح. وفقًا للمعلومات، 20% فقط لم يجيبوا بشكل صحيح على أي من السؤالين. الآن، نحن بحاجة لحساب نسبة الطلاب الذين أجابوا على السؤالين بشكل صحيح.

للقيام بذلك، يمكننا استخدام مبدأ اتحاد الأعداد. إذا كان 80% قد أجابوا بشكل صحيح على السؤال الأول، و55% قد أجابوا بشكل صحيح على السؤال الثاني، يمكننا أن نستخدم الصيغة التالية:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

حيث:

• $P(A \cup B)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على أحد السؤالين على الأقل.
• $P(A)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على السؤال الأول.
• $P(B)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على السؤال الثاني.
• $P(A \cap B)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على كليهما.

بمعرفة هذه القيم، يمكننا حساب نسبة الطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على كليهما.

لنقم بحساب نسبة الطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على كليهما، سنقوم بتفصيل الحل باستخدام القوانين التي ذُكرت.

للبداية، دعونا نستخدم القانون الأساسي للدمج أو اتحاد الأحداث:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

حيث:

• $P(A \cup B)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على السؤال الأول أو الثاني أو كلاهما.
• $P(A)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على السؤال الأول.
• $P(B)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على السؤال الثاني.
• $P(A \cap B)$ هو النسبة المئوية للطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على السؤالين كلاهما.

الآن، لنقم بتعبئة القيم بناءً على المعلومات المعطاة:

• $P(A) = 80$ (الطلاب الذين أجابوا صحيحًا على السؤال الأول).
• $P(B) = 55$ (الطلاب الذين أجابوا صحيحًا على السؤال الثاني).
• $P(A \cup B) = 20$ (الطلاب الذين لم يجيبوا صحيحًا على أي من السؤالين).

والآن نقوم بحساب $P(A \cap B)$ باستخدام الصيغة الأساسية:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
$20$

الآن نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = 80$
$P(A \cap B) = 115$
$P(A \cap B) = 95$

إذًا، 95% هي نسبة الطلاب الذين أجابوا بشكل صحيح على السؤالين كلاهما.