حل مسألة الاحتمالات باستخدام المفاهيم الأساسية (مسألة رياضيات)

نقوم بإعادة صياغة المسألة الرياضية بالطريقة التالية:

“يتم قلب عدد X من القطع المعدنية في وقت واحد. ما هي احتمالية أن تظهر الأشكال (رؤوس) على أكثر من 2 منها؟ إذا كانت الإجابة على السؤال السابق تساوي 37/256، ما قيمة المتغير X الغير معروف؟”

الآن، دعنا نقوم بحساب الإجابة على المسألة:

لنجد احتمالية أن تظهر رؤوس على أقل من 3 قطعة معدنية. لنعرف هذا، يمكننا استخدام الناتج المعروف:

$P(\text{at most 2 heads}) = \frac{37}{256}$

ونعلم أيضًا أن هناك 256 نتيجة ممكنة للقلبة الواحدة لقطعتين معدنيتين (نظرًا لأن هناك احتمال 2 لكل واحدة من القطع المعدنية: رأس أو شمس أو ناتج آخر).

بما أننا نريد معرفة احتمالية الحد الأقصى لـ 2 رأس، يمكننا استخدام الاحتمالية المعاكسة، والتي هي احتمالية أن تظهر 3 رؤوس أو أكثر.

لذا، نستخدم العلاقة:

$P(\text{at most 2 heads}) + P(\text{3 or more heads}) = 1$

لحساب الاحتمالية لظهور 3 رؤوس أو أكثر.

$P(\text{3 or more heads}) = 1 – P(\text{at most 2 heads})$

$P(\text{3 or more heads}) = 1 – \frac{37}{256}$

$P(\text{3 or more heads}) = \frac{256}{256} – \frac{37}{256}$

$P(\text{3 or more heads}) = \frac{256 – 37}{256}$

$P(\text{3 or more heads}) = \frac{219}{256}$

الآن، نحتاج إلى معرفة الاحتمالية لظهور 3 رؤوس أو أكثر من القطع المعدنية. تلك الاحتمالية تمثل إحتمالية الحالات غير المطلوبة (أي أكثر من 2 رأس) مقسومة على الحالات الإجمالية (جميع النتائج الممكنة).

الآن، لنعرف عدد الحالات غير المطلوبة (3 رؤوس أو أكثر)، نقوم بطرح العدد الإجمالي للحالات من العدد الإجمالي للحالات المطلوبة:

$\text{Total outcomes} – \text{Desired outcomes} = \text{Undesired outcomes}$

$256 – 37 = 219$

إذا، عدد الحالات غير المطلوبة هو 219.

الآن، نقوم بتقسيم عدد الحالات غير المطلوبة على العدد الإجمالي للحالات:

$P(\text{3 or more heads}) = \frac{\text{Undesired outcomes}}{\text{Total outcomes}}$

$P(\text{3 or more heads}) = \frac{219}{256}$

الآن، بعد حساب الاحتمالية لظهور 3 رؤوس أو أكثر، يمكننا استخدام العلاقة:

$P(\text{at most 2 heads}) + P(\text{3 or more heads}) = 1$

للعثور على الاحتمالية المطلوبة التي هي “رؤوس على أكثر من 2 قطعة معدنية”، حيث قمنا بحساب $P(\text{3 or more heads})$ سابقًا.

$P(\text{at most 2 heads}) + \frac{219}{256} = 1$

$P(\text{at most 2 heads}) = 1 – \frac{219}{256}$

$P(\text{at most 2 heads}) = \frac{256}{256} – \frac{219}{256}$

$P(\text{at most 2 heads}) = \frac{37}{256}$

الآن، يجب أن يتطابق هذا مع القيمة المعطاة في المسألة.

وبما أن القيمة المعطاة هي $\frac{37}{256}$، فإنه يجب أن يكون عدد القطع المعدنية المقلوبة X هو الحل، لذا القيمة المجهولة هي 37.

في حل المسألة، استخدمنا عدة مفاهيم وقوانين من الاحتمالات. إليك تفاصيل أكثر حول القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها في الحل:

1. الاحتمالات البسيطة: هي قوانين تحدد احتمالات حدوث حالات معينة في ظل ظروف محددة. في هذه المسألة، نريد حساب احتمالية ظهور رؤوس على عدد معين من القطع المعدنية.

2. مفهوم الأحداث المتجانسة: في هذا السياق، نفترض أن جميع القطع المعدنية متجانسة، مما يعني أن كل قطعة منها لها نفس الاحتمالية لظهور الرأس أو الشمس.

3. قواعد الاحتمالات: نستخدم قوانين الاحتمالات لحساب الاحتمالات في هذه المسألة، بما في ذلك قواعد الجمع والطرح والمعادلة الأساسية للاحتمالات.

4. قاعدة المتمم: هذه القاعدة تقول إن احتمالية حدوث حالة ما تساوي واحتمالية عدم حدوثها مضافة إلى بالتالي واحد. في هذه المسألة، استخدمنا هذه القاعدة لحساب احتمالية ظهور 3 رؤوس أو أكثر.

5. الاحتمالات المعاكسة: عندما نكون غير قادرين على حساب الاحتمالية مباشرة، فإننا نستخدم الاحتمالية المعاكسة، والتي هي احتمالية عدم حدوث الحالة المطلوبة، ثم نطبق قاعدة المتمم للحصول على الاحتمالية المطلوبة.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، تمكنا من حساب الاحتمالية المطلوبة وحل المسألة بشكل دقيق ومنهجي.