حل مسألة الإنتاج باستخدام العمل والزمن

تعمل الآلة X بمعدل ثابت لإنتاج $w$ وحدة، وتأخذ 2 أيام إضافية من الآلة Y لإنتاج نفس الكمية. عند هذه السرعات، إذا قامت الآلتان بالعمل معًا لإنتاج $\frac{5}{4}w$ وحدة في 3 أيام، كم سيستغرق الآلة X وحدها لإنتاج 3w وحدات؟

الآلة X تأخذ وقتًا إضافيًا لإنتاج الكمية $w$ مقارنة بالآلة Y، ولنفترض أن الآلة Y تأخذ $t$ أيام لإنتاج $w$ وحدة. بالتالي، ستأخذ الآلة X $t + 2$ أيام لإنتاج نفس الكمية.

الآلتان تعملان معًا لمدة 3 أيام، وبما أنهما تنتجان $\frac{5}{4}w$ وحدة، فإن معدل الإنتاج اليومي للآلتين معًا هو $\frac{\frac{5}{4}w}{3} = \frac{5}{12}w$.

لكننا نعلم أيضًا أن الآلة Y وحدها تنتج $w$ وحدة في يوم واحد، لذا معدل الإنتاج اليومي للآلة X بمفردها هو $\frac{w}{t + 2}$.

بما أن الآلتين تعملان معًا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\frac{w}{t + 2} + \frac{w}{t} = \frac{5}{12}w$

الآن، سنحسب قيمة $t$ من هذه المعادلة.

بعد الحسابات، يكون $t = 6$ أيام.

الآن، نعلم أن الآلة Y تأخذ 6 أيام لإنتاج $w$ وحدة، لذا الآلة X ستأخذ $t + 2 = 8$ أيام لإنتاج $w$ وحدة.

أخيرًا، لحساب الوقت اللازم للآلة X لإنتاج 3w وحدات، نقوم بالضرب في 3:

$8 \times 3 = 24$

إذاً، الآلة X ستحتاج 24 يومًا لإنتاج 3w وحدات.

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام القوانين الأساسية لمعدل العمل والزمن. لنعطي تفصيلًا أكثر ونذكر القوانين المستخدمة:

1. قانون العمل:
   $\text{العمل} = \text{المعدل} \times \text{الزمن}$

2. العلاقة بين العمل والزمن:
   $\text{العمل} = \text{المعدل} \times \text{الزمن}$

3. العلاقة بين المعدل والزمن:
   $\text{المعدل} = \frac{\text{العمل}}{\text{الزمن}}$

لنقم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

نفترض أن المعدل اليومي للآلة Y في إنتاج $w$ وحدة هو $R_Y$، والمعدل اليومي للآلة X هو $R_X$.

لذا، يمكننا كتابة المعادلات التالية:

1. علاقة الزمن والعمل للآلة Y:
   $R_Y \times t = w$

2. علاقة الزمن والعمل للآلة X:
   $R_X \times (t + 2) = w$

3. المعدل الكلي للآلتين معًا:
   $(R_Y + R_X) \times 3 = \frac{5}{4}w$

نستخدم هذه المعادلات لحل المسألة. نجد أن $R_Y = \frac{w}{t}$ و $R_X = \frac{w}{t+2}$. بمجرد استبدال هذه القيم في المعادلة الثالثة، يمكننا حساب قيمة $t$، والتي تكون 6 أيام.

بعد ذلك، نستخدم $t + 2$ لحساب الزمن الذي يستغرقه الجهاز X لإنتاج $w$ وحدة بمفرده. في هذه الحالة، يكون الزمن هو 8 أيام.

أخيرًا، للحصول على الزمن اللازم لإنتاج 3w وحدات، نقوم بضرب هذا الزمن في 3 ليكون الإجمال 24 يومًا.

بهذا الشكل، قمنا بحل المسألة باستخدام قوانين العمل والزمن والعلاقات بين المعدل والزمن.