حل مسألة الأعداد في أنظمة مختلفة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تقول: إذا كان العدد الصحيح الإيجابي مكتوبًا كـ $AB_7$ في النظام السباعي وكـ $BA_5$ في النظام الخماسي، فما هي قيمة هذا العدد في النظام العشري؟

لحل هذه المسألة، دعنا نحلل كل قاعدة على حدة ونجد قيمة كل رقم.

في النظام السباعي، $AB_7$ يمثل العدد $7A + B$.
وفي النظام الخماسي، $BA_5$ يمثل العدد $5B + A$.

الآن، نحن نبحث عن الأعداد التي تمثل نفس القيمة في النظامين السباعي والخماسي. لذلك، نضع المعادلتين معًا:

$7A + B = 5B + A$

نريد حل هذه المعادلة للعثور على القيم الممكنة للأعداد $A$ و$B$.

نقوم بترتيب المعادلة:

$7A – A = 5B – B$

$6A = 4B$

نقسم الجانبين على 2:

$3A = 2B$

الآن نرى أن الحلول الممكنة هي عندما تكون $A$ مضاعفًا لـ 2 و$B$ مضاعفًا لـ 3. ونظرًا لأن $A$ و$B$ أرقام صحيحة إيجابية، فإن القيم الممكنة لهما هي $A = 2$ و$B = 3$.

الآن، بمعرفة قيم $A$ و$B$، يمكننا حساب قيمة العدد في النظام العشري. في النظام السباعي، $AB_7$ يكون $2 \times 7 + 3 = 17$، وفي النظام الخماسي، $BA_5$ يكون $3 \times 5 + 2 = 17$.

لذا، قيمة العدد في النظام العشري هي 17.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم كيفية تمثيل الأعداد في أنظمة العد الترتيبي المختلفة، وتطبيق القوانين الرياضية للعثور على القيم المناسبة.

1. تمثيل الأعداد في الأنظمة العدية:

   • في النظام السباعي، يتم استخدام الأرقام من 0 إلى 6.
   • في النظام الخماسي، يتم استخدام الأرقام من 0 إلى 4.

2. تمثيل الأعداد بشكل عام:

   • في النظام السباعي، الرقم $AB_7$ يمثل $A \times 7 + B$.
   • في النظام الخماسي، الرقم $BA_5$ يمثل $B \times 5 + A$.

3. المعادلة المستخدمة:

   • نحن نقارن القيم المعبر عنها في النظامين السباعي والخماسي، ونستخدم المعادلة $7A + B = 5B + A$.

4. حل المعادلة:

   • نقوم بترتيب المعادلة وحلها للعثور على القيم الممكنة للأرقام $A$ و$B$.
   • نحصل على $3A = 2B$، مما يعني أن $A$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 2 و$B$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 3.

5. العثور على القيم المناسبة:

   • بعد إيجاد العلاقة بين $A$ و$B$، نبحث عن القيم التي تفي بالشرط، ونجد أن $A = 2$ و$B = 3$.

6. حساب قيمة العدد في النظام العشري:

   • باستخدام القيم المعروفة لـ $A$ و$B$، نستخدم الصيغة $7A + B$ في النظام السباعي و$5B + A$ في النظام الخماسي لحساب القيم.
   • بالتالي، قيمة العدد في النظام العشري هي الناتج عن العددين المعنويين، وهو 17.

بهذا الشكل، توضح الخطوات المذكورة كيف تم حل المسألة بالاعتماد على فهم أساسي لتمثيل الأعداد في أنظمة العد الترتيبي المختلفة وتطبيق القوانين الرياضية.