حل مسألة: الأعداد الصحيحة والكسور العشرية المتكررة (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة $n$ بين 1 وX (بما في ذلك X) التي تجعل $\frac{n}{12}$ كسرًا عشريًا متكررًا هو 8. ما هو قيمة المتغير الغير معروف X؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم كيف يمكن لكسر $\frac{n}{12}$ أن يكون عشريًا متكررًا. إذا كان المقام (البسط) يحتوي على عوامل أخرى غير الأعداد الأولية 2 و5، فإن $\frac{n}{12}$ سيكون عشريًا متكررًا. يجب على المقام أن يحتوي على عوامل من هذا النوع فقط.

العاملان البارزان في المقام هما 2 و 3، حيث أن 12 يقسم على كلاهما. لذلك، لنضمن أن المقام يحتوي على هذين العاملين فقط، يجب أن يكون $n$ قابلًا للقسمة على 2 و 3 دون أن يكون قابلًا للقسمة على 5. هذا يعني أن $n$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ 2 و 3.

نقوم بحساب المضاعف المشترك الأصغر (الإلتزام) للعددين 2 و 3، وهو 6. لذا، كل عدد صحيح مضاعف لـ 6 يلبي الشرط. لكننا محددين بـ 8 أعداد. لذا، نقوم بتحديد قيمة X بالقسمة على 6 وضربها في 8:

$X = 6 \times 8 = 48.$

إذاً، إذا كان عدد الأعداد التي تجعل $\frac{n}{12}$ عشريًا متكررًا هو 8، فإن قيمة المتغير الغير معروف X تكون 48.

لفهم المسألة بشكل أعمق وحلها بشكل دقيق، يتعين علينا التفكير في القوانين والمفاهيم الرياضية المرتبطة بالكسور العشرية والأعداد الصحيحة. سنستخدم بعض القوانين التي تتعلق بتكرار الكسور والعوامل الأولية. سنركز على مفهوم تكرار الكسور ومضاعفات الأعداد الأولية.

للبداية، نتذكر أن الكسر $\frac{n}{12}$ سيكون عشريًا متكررًا إذا كان المقام (البسط) يحتوي على عوامل أولية غير العوامل 2 و 5. لكي يكون الكسر غير متكرر، يجب أن يكون المقام يحتوي فقط على عوامل 2 و 5.

عوامل 2 و 5 هي العوامل الأولية الوحيدة التي يجب أن تظهر في المقام لتجنب التكرار. ومن ثم، يجب أن يكون العدد $n$ قابلًا للقسمة على 2 و 3 (العوامل الموجودة في المقام)، ولكن لا يجب أن يكون قابلًا للقسمة على 5.

نقوم بحساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) بين الأعداد 2 و 3، ونحصل على القيمة 6. لذا، يجب أن يكون $n$ مضاعفًا لـ 6 حتى يلبي الشرط. ومن ثم، نحسب 8 أعداد صحيحة تلبي هذا الشرط.

القوانين المستخدمة:

1. مفهوم تكرار الكسور.
2. استخدام عوامل الأعداد الأولية (2 و 3 و 5) في تحديد متى يكون الكسر عشريًا متكررًا.
3. استخدام المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لتحديد العوامل الأولية المشتركة.

الآن، نقوم بتحديد قيمة X بالقسمة على 6 وضربها في 8:

$X = 6 \times 8 = 48.$

إذاً، إذا كان عدد الأعداد التي تجعل $\frac{n}{12}$ عشريًا متكررًا هو 8، فإن قيمة المتغير الغير معروف X تكون 48.