حل مسألة الأعداد الزوجية والعدد الفردي (مسألة رياضيات)

مجموع الأعداد الزوجية بين 1 و n هو 89 * 90، حيث n هو عدد فردي. لنقم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية ومن ثم تقديم الحل:

المسألة:
مجموع الأعداد الزوجية بين العدد 1 والعدد n هو 89 * 90، حيث يُفترض أن يكون العدد n عددًا فرديًا. ما هو قيمة العدد n؟

الحل:
لنقم بحساب المجموع بطريقة تحليلية. نعلم أن المجموع الكلي يمثل مجموع تسلسل حس算ي للأعداد الزوجية بين 1 و n. للعثور على هذا المجموع، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{مجموع} = \frac{n}{2} \times (\text{العدد الأول} + \text{العدد الأخير})$

حيث العدد الأول هو 2 والعدد الأخير هو n إذا كان n عددًا فرديًا. وبما أن المجموع الكلي هو 89 * 90، يمكننا كتابة المعادلة التحليلية التالية:

$89 \times 90 = \frac{n}{2} \times (2 + n)$

نقوم بحساب هذه المعادلة للعثور على قيمة n. أولاً، نقوم بضرب الطرف الأيمن في 2 للتخلص من المقام:

$2 \times 89 \times 90 = n \times (2 + n)$

ثم نقوم بتبسيط المعادلة:

$178 \times 90 = n \times (2 + n)$

الآن، نحسب المعادلة التي نتجت عن ذلك للعثور على القيمة الممكنة لـ n. يمكننا استخدام أساليب الجبر لحل المعادلة الرباعية، وعند حلها، نحصل على القيمة النهائية لـ n.

لنقم بمزيد من التفاصيل لحل المسألة وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

نعلم أن مجموع الأعداد الزوجية بين 1 و $n$ يمكن حسابه بواسطة المعادلة التالية:

$\text{مجموع} = \frac{n}{2} \times (\text{العدد الأول} + \text{العدد الأخير})$

وهنا، العدد الأول هو 2، والعدد الأخير هو $n$ إذا كان $n$ عددًا فرديًا. لذا المعادلة تأخذ الشكل:

$\text{مجموع} = \frac{n}{2} \times (2 + n)$

في المسألة المعطاة، وبما أن المجموع يُعطى كقيمة ثابتة وهي $89 \times 90$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$89 \times 90 = \frac{n}{2} \times (2 + n)$

لحل هذه المعادلة، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. ضرب الطرفين في 2 للتخلص من المقام:
   $2 \times 89 \times 90 = n \times (2 + n)$

2. تبسيط المعادلة:
   $178 \times 90 = n \times (2 + n)$

3. فتح القوس وترتيب المعادلة:
   $16020 = n^2 + 2n$

4. جمع جميع المصطلحات في الجهة اليمنى:
   $n^2 + 2n – 16020 = 0$

5. حل المعادلة الرباعية. يمكن استخدام العديد من الطرق لحل هذا النوع من المعادلات، مثل العاملة أو الكمال التام أو استخدام الصيغة السالبة. بالنهاية، نحصل على قيمتين ممكنتين لـ $n$.

6. من خلال الشروط المفروضة في المسألة (أن $n$ يجب أن يكون فرديًا)، نقوم باختيار القيمة الصحيحة لـ $n$.

7. إذا كانت هناك قوانين أخرى تتعلق بالقيم المسموح بها لـ $n$ (مثل النطاق الزمني للمسألة أو أي شروط إضافية أخرى)، يجب أخذها في اعتبارنا أثناء اختيار القيمة الصحيحة.

بهذا، نحصل على القيمة النهائية لـ $n$ التي تلبي شروط المسألة.