حل مسألة الأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

العدد الأول هو الرقم الأول الذي يزيد 4 عن مربع مثالي، ويقل 7 عن المربع المثالي الذي يليه. لنقم بتعبير المسألة بشكل رياضي:

“ما هو العدد الأول الذي يعتبر عدداً أولياً ويزيد 4 عن مربع مثالي، كما يقل 7 عن المربع المثالي الذي يليه؟”

لحل هذه المسألة، لنفترض أن $n^2$ هو المربع المثالي الذي يأتي قبل العدد الأول الذي نبحث عنه، وبالتالي يكون العدد الأول $n^2 + 4$. والعدد الأول الذي يأتي بعد العدد $n^2 + 4$ هو $(n+1)^2$.

وبناءً على الشروط المعطاة في المسألة، نحصل على المعادلة التالية:

$n^2 + 4$ هو عدد أولي
$(n+1)^2 – 7$ هو عدد أولي

لحل هذه المعادلتين، سنقوم بالتحقق من إمكانية قيام العددين $n^2 + 4$ و $(n+1)^2 – 7$ بتمثيل أعداد أولية.

نبدأ بالتحقق من $n^2 + 4$، حيث يجب أن نتأكد من عدم قابليته للقسمة على أي عدد أولي أقل من نفسه. نبدأ بالتحقق من الأعداد الأولية الصغيرة.

على سبيل المثال، لنأخذ $n = 1$، يصبح $n^2 + 4 = 5$، وهو عدد أولي. الآن سنحاول بعض الأرقام الأخرى.

لكن عندما نختبر $n = 2$، يصبح $n^2 + 4 = 8$، وهو ليس عدداً أولياً، لأنه يمكن قسمته على 2.

نستمر في التحقق من الأعداد حتى نجد القيمة المناسبة لـ $n$ التي تجعل $n^2 + 4$ عددًا أوليًا. وبمجرد أن نجدها، سنتأكد مما إذا كان $(n+1)^2 – 7$ عددًا أوليًا أيضًا.

الحل يعتمد على البحث عن قيمة محددة لـ $n$ تجعل $n^2 + 4$ عددًا أوليًا، ومن ثم التحقق مما إذا كانت $(n+1)^2 – 7$ عددًا أوليًا أيضًا.

يتطلب هذا الحل استخدام الرياضيات الخاصة بالأعداد الأولية والتحقق من صحة الافتراضات.

لحل المسألة التي تتعلق بالعثور على العدد الأول الذي يكون 4 أكبر من مربع مثالي و7 أقل من المربع المثالي التالي، نحتاج إلى تطبيق عدة قوانين ومفاهيم في الرياضيات، بما في ذلك الأعداد الأولية والجبر.

في البداية، لنقم بتعريف الشروط المطلوبة للعدد:

1. يكون العدد $n^2 + 4$ أولياً.
2. يكون العدد $(n+1)^2 – 7$ أولياً.

لنبدأ بتحليل الشرط الأول. نحتاج إلى إيجاد القيم الممكنة لـ $n$ التي تجعل $n^2 + 4$ عدداً أولياً. هنا نستخدم فكرة أن الأعداد الأولية هي تلك الأعداد التي لا يمكن قسمتها على أي عدد آخر سوى 1 ونفسها.

بعد أن نجد القيمة المناسبة لـ $n$ التي تجعل $n^2 + 4$ عدداً أولياً، سنتحقق مما إذا كان $(n+1)^2 – 7$ أيضاً عدداً أولياً.

قوانين الجبر والأعداد الأولية تأتي في الحسابات هنا بشكل أساسي. نحتاج إلى فهم كيفية حساب المربعات والتعبيرات الجبرية والتحقق من صفات الأعداد الأولية.

الخطوات التي يجب اتباعها لحل المسألة:

1. ابدأ بتحديد $n$ واستخدم $n$ لإيجاد $n^2 + 4$.
2. قم بالتحقق مما إذا كان $n^2 + 4$ عددًا أوليًا.
3. إذا كان $n^2 + 4$ عددًا أوليًا، قم بحساب $(n+1)^2 – 7$ وتحقق مما إذا كان أيضًا عددًا أوليًا.
4. إذا كانت كلا الشروط متحققتين، فالعدد الذي يتوافق مع هذه الشروط هو الإجابة.

هذا الحل يتطلب فهمًا جيدًا لخصائص الأعداد الأولية والقوانين الجبرية لحساب المربعات والتعبيرات الجبرية.