حل مسألة: استخدام هوية المثلثية (مسألة رياضيات)

إذا كانت
$\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = 1,$
فإنّ الأمر يتعلق بتحويل الجملة الأولى إلى مجموعات التمام. فلنقم بتحويلها:

$\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} = \cos^2 \alpha$
و
$\frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = \sin^2 \alpha$

وهذا يعطينا:

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

وبما أننا نعلم أنّ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ دائمًا، فإن المعادلة الأخيرة تُشير إلى أن الجملة الأولى هي بالفعل متكافئة مع المعادلة الأساسية في الهوية المثلثية.

الآن، لنبحث في الجملة الثانية:

نريد إيجاد قيمة التالي:
$\frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha}$

بما أننا نملك معرفة المتساويات الأساسية في الهوية المثلثية، فلنستخدمها لتحويل الجملة الثانية إلى صيغة تعتمد على الهوية المثلثية.

لنقوم بتحويل:
$\frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} = \sin^2 \beta$
و
$\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha} = \cos^2 \beta$

إذاً، الجملة الثانية تتحول إلى:
$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$

وهذا نفس المبدأ الذي تعتمد عليه الهوية المثلثية.

لذا، الجواب هو:
$1$

باختصار، مجموع جميع القيم الممكنة للتعبير
$\frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha}$
هو $1$.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مجموعة من القوانين الأساسية في الجبر والهوية المثلثية. دعنا نفصل الحل خطوة بخطوة مع ذكر القوانين المستخدمة:

المعطيات:
$\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = 1$

نريد إيجاد قيمة التالي:
$\frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha}$

الخطوات:

1. استخدام هوية المثلثية:
   يعتمد الحل بشكل أساسي على هوية المثلثية الأساسية:
   $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
   هذه الهوية تعبر عن العلاقة الأساسية بين الجيوبتري والكوساينت لأي زاوية.

2. تحويل المعادلات:
   نحتاج لتحويل المعادلات المعطاة إلى صيغة تعتمد على هوية المثلثية.

3. تطبيق الهوية:
   استخدمنا هوية المثلثية لتحويل كل من الجملتين الأصليتين إلى صيغة متكافئة باستخدام هذه الهوية.

4. إيجاد القيمة المطلوبة:
   بعد التحويل، وجدنا أن الجملة الثانية تصبح متكافئة للقيمة 1 وذلك باستخدام هوية المثلثية مرة أخرى.

بشكل عام، الحل يعتمد على فهم الهويات الأساسية في الجبر والجيومتريا، والقدرة على تحويل المعادلات لتناسب تلك الهويات واستخدامها بفعالية لحل المسألة المعطاة.

في النهاية، تمثل الجبر والهويات المثلثية أدوات قوية في حل المسائل الرياضية، وفهمها وتطبيقها بشكل صحيح يساعد في تبسيط وتسريع عملية الحل.