حل مسألة: اختيار زوج من الجوارب (مسألة رياضيات)

عدد الجوارب البنية المجهولة: $X = 4$

طريقة الحل:
لنقم بتحديد الخيارات الممكنة للاختيار بناءً على الألوان المختلفة للجوارب.

نحن بحاجة إلى اختيار جوارب من ألوان مختلفة لتكوين زوج من الجوارب.

لدينا 4 جوارب بيضاء و $X$ جوارب بنية و 2 جوارب زرقاء.

نحن نعلم أن عدد الطرق لاختيار زوج من الجوارب (من ألوان مختلفة) هو 32.

نبدأ بحساب الخيارات:

1. للاختيار الأول: يمكننا اختيار الجوارب البيضاء من بين 4 جوارب، أي $4$ طرق.
2. للاختيار الثاني: يجب أن نختار جوربًا غير بيضاء. لدينا $X$ جوارب بنية و 2 جوارب زرقاء، بمجموع $X + 2$ جوارب. لذا يمكننا اختيار جورب بني بـ $X$ طريقة، أو جورب أزرق بـ 2 طريقة.

بالتالي، إجمالي عدد الطرق لاختيار الزوج من الجوارب (من ألوان مختلفة) هو عدد الطرق للاختيار الأول مضروبًا في عدد الطرق للاختيار الثاني:

$4 \times (X + 2) = 4X + 8$

ووفقًا للبيان، هذا العدد يساوي 32.

$4X + 8 = 32$

$4X = 32 – 8 = 24$

$X = \frac{24}{4} = 6$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 6.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الاحتمالات والتحليل المجموعاتي.

1. قانون الضرب (Multiplication Principle):
   قانون الضرب يقول إذا كان هناك $m$ طريقة للقيام بعمل ما وبعد ذلك يوجد $n$ طريقة للقيام بعمل آخر غير متعلق به، فإن هناك إجمالي $m \times n$ طريقة لإتمام العملين معًا.

2. التوزيع (Distribution):
   عندما نختار من مجموعة متعددة من العناصر، نستخدم التوزيع لحساب عدد الطرق المختلفة لاختيار العناصر.

3. الاحتمالات:
   نستخدم مفهوم الاحتمالات لحساب عدد النتائج الممكنة مقسومة على عدد النتائج الإجمالي.

الآن، دعونا نحل المسألة مرة أخرى باستخدام هذه القوانين:

لدينا 10 جوارب مميزة، مكونة من 4 بيضاء، $X$ بنية، و 2 زرقاء.

نحتاج إلى اختيار زوج من الجوارب، بحيث تكون الجوارب من ألوان مختلفة.

1. الاختيار الأول:
   يمكننا اختيار أي جورب بيضاء من بين 4 جوارب بيضاء، لذلك هناك 4 طرق للاختيار.

2. الاختيار الثاني:
   نحتاج إلى اختيار جورب بلون مختلف عن الجورب الأول. يمكن أن يكون جورب بني من بين $X$ جورب بنية أو جورب أزرق من بين 2 جورب زرقاء. إجمالاً، هناك $X + 2$ طرق للاختيار.

باستخدام قانون الضرب، إجمالي عدد الطرق للاختيار الزوج من الجوارب هو:

$4 \times (X + 2) = 4X + 8$

ووفقاً للبيان، هذا العدد يساوي 32:

$4X + 8 = 32$

$4X = 32 – 8 = 24$

$X = \frac{24}{4} = 6$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 6.