حل مسألة اختيار الفريق بالرياضيات (مسألة رياضيات)

لدينا فريق كرة الطائرة في المدرسة يتألف من X لاعبة، ومن بينهن ثلاثة توائم: أليسيا، أماندا، وآنا. نرغب في معرفة بكم طريقة يمكننا بها اختيار 6 لاعبات أساسيات إذا كانت جميع توائم الثلاثة في التشكيلة الأساسية.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مفهوم الاختيارات المتكاملة. إذا كان لدينا 6 لاعبات تتألف من توائم الثلاثة وعدد من اللاعبات الأخرى، يمكننا اختيار اللاعبات الأخرى من بين (X – 3) لاعبة بعد أن تم اختيار توائم الثلاثة.

عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات من بينهن هو:
$C(X-3, 6)$

وهو يحسب بواسطة الصيغة:
$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث n! تعني عامل القوى للعدد n.

في هذه الحالة:
$C(X-3, 6) = \frac{(X-3)!}{6! (X-9)!}$

ونعلم أن هذا العدد يكون يساوي 165. لذا، نحصل على المعادلة:
$\frac{(X-3)!}{6! (X-9)!} = 165$

لحل هذه المعادلة، يمكننا تبسيطها والوصول إلى قيمة X. يمكننا القول إن الحل هو X = 15.

بهذا الشكل، يمكننا اختيار 6 لاعبات من بين 15 بطرق مختلفة، وهو يتضمن توائم الثلاثة دائمًا في التشكيلة الأساسية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاختيارات المتكاملة (Combinations). نريد اختيار 6 لاعبات من بين X لاعبة، ولدينا توائم الثلاثة (أليسيا، أماندا، وآنا) يجب أن يكونوا جميعًا في التشكيلة الأساسية.

قانون الاختيارات المتكاملة يُعبِّر عندما نريد اختيار k عناصر من بين مجموعة تتألف من n عنصر، ولا يهم ترتيب الاختيار، فإن عدد الاختيارات الممكنة هو $C(n, k)$ ويُحسب بواسطة الصيغة:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث n! هو عامل القوى للعدد n.

في هذه المسألة، نريد اختيار 6 لاعبات من بين (X-3) لاعبة (بعد استثناء توائم الثلاثة). لذلك، يكون لدينا:

$C(X-3, 6) = \frac{(X-3)!}{6!(X-9)!}$

ونعلم أن هذا العدد يساوي 165 وهو عدد الطرق الممكنة لاختيار 6 لاعبات. لذا، نحصل على المعادلة:

$\frac{(X-3)!}{6!(X-9)!} = 165$

لحل هذه المعادلة، يمكننا تبسيطها وحساب قيمة X. في هذه الحالة، تكون القيمة الصحيحة لـ X هي 15.

إذًا، يكون لدينا 15 لاعبة، بما في ذلك توائم الثلاثة، ويمكن اختيار 6 لاعبات من بينهن بمختلف الطرق الممكنة، وهو يتضمن دائمًا توائم الثلاثة في التشكيلة الأساسية.