حل مسألة احتمالات الأحداث المستقلة

إذا كانت الأحداث A و B مستقلتين، واحتمال حدوث الحدث A أكبر من صفر، واحتمال حدوث الحدث A يعادل ضعف احتمال حدوث الحدث B، واحتمال حدوث أحد الأحداث A أو B هو ثمانية أضعاف احتمال حدوث كليهما، فما هو احتمال حدوث الحدث A؟

لنقم بتعريف بعض المتغيرات لحل هذه المسألة. فلنكن P(A) هو احتمال حدوث الحدث A، ولنكن P(B) هو احتمال حدوث الحدث B. ونعلم أن P(A) > 0 وأن P(A) = 2P(B).

الآن، وفقًا للشروط المعطاة، يمكننا كتابة المعادلات التالية:

1. P(A and B) = P(A) * P(B) (لأن الأحداث مستقلة).
2. P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B) (باستخدام قاعدة الجمع).

ووفقًا للشرط الثالث، نعلم أن P(A or B) = 8 * P(A and B).

الآن لنقم بحساب P(A) و P(A and B):

من المعلوم أن P(A) = 2P(B)، لذا يمكننا استخدام هذه المعلومة لتعويض قيمة P(A) في المعادلة الثانية:

P(A or B) = 2P(B) + P(B) – P(A and B) = 3P(B) – P(A and B) = 8 * P(A and B).

الآن نحل المعادلة للحصول على قيمة P(B):

3P(B) – P(A and B) = 8 * P(A and B)
3P(B) = 9 * P(A and B)
P(B) = 3 * P(A and B).

الآن نستخدم قيمة P(B) لحساب P(A):

P(A) = 2P(B) = 2 * 3 * P(A and B) = 6 * P(A and B).

وبما أن P(A or B) = 8 * P(A and B)، يمكننا كتابة:

8 * P(A and B) = 6 * P(A and B) + 3 * P(A and B) – P(A and B).

بتجميع المصطلحات المتشابهة:

8 * P(A and B) = 8 * P(A and B).

هذا يعني أن الحل الذي وجدناه يتوافق مع الشروط المعطاة. لذا، P(A) هو 6/8 أو 3/4.

في حل هذه المسألة، قمنا باستخدام عدة قوانين ومفاهيم رياضية. سأقوم بتوضيح الخطوات والقوانين التي تم استخدامها:

1. استخدام قاعدة الجمع:

   • قاعدة الجمع تستخدم لحساب احتمال حدوث أحد الأحداث A أو B، وتعطى بالصيغة:
     $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

2. استخدام قاعدة الضرب للأحداث المستقلة:

   • إذا كانت الأحداث A و B مستقلتين، فإن احتمال حدوث كليهما يحسب بضرب احتمال حدوث الحدث A في احتمال حدوث الحدث B.
     $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

3. استخدام المعادلات لحل المشكلة:

   • قمنا بتعريف متغيرين: P(A) و P(B) هما احتمال حدوث الحدث A و B على التوالي.
   • استخدمنا المعلومات المعطاة لوضع معادلات، مثل أن P(A) > 0 و P(A) = 2P(B).

4. حل المعادلات:

   • قمنا بحل المعادلات التي وضعناها للعثور على قيمة P(A) و P(B).

5. التحقق من الحل:

   • بعد الحصول على القيم، قمنا بالتحقق من الحل عن طريق التأكد مما إذا كانت الشروط المعطاة متحققة أم لا.

بهذه الطريقة، تم استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية لحل المسألة بطريقة دقيقة ومنطقية.