حل المعادلة الكубية بالجبر (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب القيمة المتوسطة لجميع الحلول الممكنة للمعادلة التالية: $x^3 + 3x^2 – 10x = 0$.

لحل هذه المعادلة، يمكننا أولاً إجراء العمليات الجبرية اللازمة لتبسيطها. نلاحظ أن لدينا $x$ كعامل مشترك في جميع الأعضاء، لذا يمكننا تحديده على النحو التالي:

$x(x^2 + 3x – 10) = 0$

الآن نقوم بتحليل الجزء الثاني من المعادلة:

$x^2 + 3x – 10 = 0$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة السائدة لحساب الجذرين:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 3$، و $c = -10$. بعد حساب القيم، نجد أن لدينا جذرين حقيقيين هما:

$x_1 = -5$

$x_2 = 2$

لذا، تكون الجذور الكلية للمعادلة الأصلية:

$x_1 = 0$

$x_2 = -5$

$x_3 = 2$

الآن، نحتسب القيمة المتوسطة لهذه الجذور باستخدام الصيغة:

$المتوسط = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{0 + (-5) + 2}{3} = -1$

إذا كانت المطلوبة هي القيمة المتوسطة لجميع الحلول، فإن القيمة تكون $-1$.

بالطبع، دعونا نقوم بتوسيع الشرح لحل المعادلة وذلك باستخدام القوانين الجبرية المعتادة. المعادلة التي نحاول حلها هي:

$x^3 + 3x^2 – 10x = 0$

الخطوة الأولى تكون في محاولة تبسيط المعادلة. لدينا $x$ كعامل مشترك في جميع الأعضاء، لذا يمكننا استخراجه:

$x(x^2 + 3x – 10) = 0$

هنا، نستخدم خاصية العامل المشترك للعثور على الجذور. يمكننا تحليل الجزء الثاني من المعادلة:

$x^2 + 3x – 10 = 0$

هذه المعادلة من الدرجة الثانية، لذا يمكننا حساب الجذرين باستخدام الصيغة العامة لحساب الجذرين:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 3$، و $c = -10$. نحسب قيمة التعبير تحت الجذر ($b^2 – 4ac$) ونجد أنها تساوي $49$، وبالتالي نحصل على جذرين حقيقيين:

$x_1 = -5$

$x_2 = 2$

الآن، بما أن المعادلة الأصلية هي من الدرجة الثالثة، فنحتاج إلى أن نأخذ في اعتبارنا الجذر الإضافي $x_3 = 0$ الذي حسبناه من العامل المشترك $x$.

إذاً، الجذور الكلية للمعادلة الأصلية هي:

$x_1 = -5$

$x_2 = 2$

$x_3 = 0$

الآن، لحساب القيمة المتوسطة، نقوم بجمع هذه القيم وتقسيمها على عددها:

$المتوسط = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{0 + (-5) + 2}{3} = -1$

قوانين الجبر المستخدمة هي:

1. خاصية العامل المشترك: استخدامها لاستخراج العامل المشترك من المعادلة.
2. صيغة حساب الجذور للمعادلة من الدرجة الثانية: تستخدم لحساب الجذور عندما يكون لدينا معادلة من هذه الدرجة.

تمثل هذه الخطوات العملية لحل المعادلة بشكل تفصيلي باستخدام القوانين الجبرية.