حل المعادلة الرباعية بالجبر

إذا كانت $f(x) = 12 – \frac{x^2}{2}$ وإذا كانت قيمة $f(2k)$ تساوي $4k$، فما هي إحدى القيم الممكنة لـ $k$؟

حل:
لحساب قيمة $f(2k)$، نستبدل $x$ في الدالة $f(x)$ بـ $2k$، وذلك كالتالي:
$f(2k) = 12 – \frac{(2k)^2}{2}$

لنقم بتبسيط هذا التعبير:
$f(2k) = 12 – \frac{4k^2}{2}$
$f(2k) = 12 – 2k^2$

ووفقاً للسؤال، يتم تساوي $f(2k)$ مع $4k$، لذا:
$12 – 2k^2 = 4k$

لنقم بترتيب المعادلة وجمع كل المصطلحات في الجهة اليمنى:
$2k^2 + 4k – 12 = 0$

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة الرباعية باستخدام العديد من الطرق، منها استخدام القاعدة العامة لحساب الجذور. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الطريقة التقليدية لحساب الجذور بواسطة القاعدة التالية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2$ و $b = 4$ و $c = -12$. لنقم بحساب الجذور:
$k = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4(2)(-12)}}{2(2)}$
$k = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 96}}{4}$
$k = \frac{-4 \pm \sqrt{112}}{4}$

الآن يمكننا تبسيط هذا التعبير بتقسيم البسط والمقام على $4$:
$k = \frac{-1 \pm \sqrt{28}}{2}$

إذاً، هناك حلاً رياضياً مزدوجاً:
$k = \frac{-1 + \sqrt{28}}{2}$
$k = \frac{-1 – \sqrt{28}}{2}$

وبالتالي، إحدى القيم الممكنة لـ $k$ هي:
$k = \frac{-1 + \sqrt{28}}{2}$

بالطبع، دعونا نوسع على حل المسألة ونركز على الخطوات والقوانين المستخدمة.

المسألة هي كالتالي:
إذا كانت الدالة $f(x) = 12 – \frac{x^2}{2}$ وإذا كانت قيمة $f(2k)$ تساوي $4k$، نريد إيجاد قيمة ممكنة لـ $k$.

الحل:

1. تعريف الدالة:
   لدينا الدالة $f(x) = 12 – \frac{x^2}{2}$ ونريد حساب قيمة $f(2k)$.

2. استبدال $x$ بـ $2k$ في الدالة:
   $f(2k) = 12 – \frac{(2k)^2}{2}$

   هنا، قمنا بتعويض قيمة $x$ بـ $2k$ في المعادلة الأصلية.

3. تبسيط التعبير:
   $f(2k) = 12 – \frac{4k^2}{2}$
   $f(2k) = 12 – 2k^2$

   نبسط المعادلة للحصول على صيغة أبسط.

4. إعداد المعادلة:
   وفقًا للسؤال، $f(2k)$ يساوي $4k$، لذلك:
   $12 – 2k^2 = 4k$

   نقوم بترتيب المعادلة للحصول على معادلة منتجة.

5. معالجة المعادلة الرباعية:
   نحصل على معادلة رباعية: $2k^2 + 4k – 12 = 0$، وهي معادلة رباعية عامة.

6. حساب الجذور باستخدام القاعدة العامة:
   استخدمنا القاعدة العامة لحساب الجذور: $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$، حيث $a = 2$ و $b = 4$ و $c = -12$.

7. تبسيط الجذور:
   نحصل على جذور: $k = \frac{-1 \pm \sqrt{28}}{2}$، وقمنا بتبسيطها أكثر.

8. القيمة الممكنة لـ $k$:
   إذاً، إحدى القيم الممكنة لـ $k$ هي:
   $k = \frac{-1 + \sqrt{28}}{2}$

القوانين المستخدمة:

• تعريف الدالة: استخدمنا تعريف الدالة $f(x)$ لحساب قيمة $f(2k)$ بتعويض $x$ بقيمة $2k$.
• التبسيط الجبري: قمنا بتبسيط التعبيرات الجبرية للحصول على صيغة أبسط.
• معالجة المعادلات: استخدمنا خطوات المعالجة لتحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة رباعية.
• القاعدة العامة لحساب الجذور: استخدمنا القاعدة العامة لحساب الجذور لحل المعادلة الرباعية والحصول على قيمة $k$.

تمثل هذه القوانين الأساسية للجبر والمعادلات الرباعية المستخدمة في حل هذه المسألة الرياضية.