حل المعادلات بمعاملات حقيقية: دراسة حالة

المعادلة التي يتعين علينا حلها هي:

$2 – x = 2b – 2ax$

حيث $a$ و $b$ هما متغيرات حقيقية. لنقم بحساب قيم $a$ التي تجعل المعادلة لديها حلاً صحيحًا، أي عددًا طبيعيًا. عندما $b = 7$، تأخذ المعادلة الشكل التالي:

$2 – x = 14 – 14a$

لنقم بترتيب المعادلة للعثور على القيم الممكنة لـ $a$، نقوم بجمع $x$ من الجهة اليسرى ونطرح $14a$ من الجهة اليمنى:

$x = 14 – 14a + 2$

الآن، لنجعل $x$ عددًا طبيعيًا، يجب أن تكون القيمة على الجهة اليمنى من المعادلة عددًا طبيعيًا. لذا، يمكننا كتابة العبارة التالية:

$14 – 14a + 2 > 0$

لنقم بحل هذه العبارة للعثور على النطاق المسموح به لقيمة $a$. أولاً، نطرح 2 من الجهة اليمنى:

$14 – 14a > -2$

ثم، نقسم على -14 للحصول على قيمة $a$:

$a < \frac{16}{14}$

بتبسيط الكسر، نحصل على:

$a < \frac{8}{7}$

لذا، يمكننا أن نقول إن المعادلة لديها حلاً صحيحًا (عددًا طبيعيًا) عندما تكون قيمة $a$ أقل من $\frac{8}{7}$.

لنقوم بحل المعادلة $2 – x = 2b – 2ax$ عندما $b = 7$، نبدأ بتوسيع المعادلة وترتيبها. الشكل الأولي للمعادلة هو:

$2 – x = 14 – 14a$

نقوم بجمع $x$ من الجهة اليسرى وطرح $14a$ من الجهة اليمنى:

$x = 14 – 14a + 2$

الآن، نقوم بتبسيط الجهة اليمنى:

$x = 16 – 14a$

لنجعل $x$ عددًا طبيعيًا، يجب أن تكون القيمة على الجهة اليمنى من المعادلة أكبر من صفر:

$16 – 14a > 0$

نقوم بحل هذه العبارة للعثور على النطاق المسموح به لقيمة $a$. نطرح 16 من الجهة اليمنى:

$-14a > -16$

نقسم على -14 (مع الانتباه إلى عكس العلامة عند قسم المعادلة بعد طرحها):

$a < \frac{16}{14}$

التبسيط يؤدي إلى:

$a < \frac{8}{7}$

لذا، نجد أن المعادلة تحقق حلاً صحيحًا (عددًا طبيعيًا) عندما تكون قيمة $a$ أقل من $\frac{8}{7}$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. قانون الجمع والطرح: تم استخدامه لتجميع وطرح المصطلحات المتشابهة في المعادلة.

2. القاعدة الأساسية لحل المعادلات: تم استخدامها لترتيب المعادلة والعثور على القيم المجهولة.

3. قوانين النطاقات: تم استخدامها لتحديد الشروط التي يجب أن تتحقق لتحقيق حلاً صحيحًا للمعادلة.

4. القوانين الحسابية الأساسية: تم استخدامها في عمليات الجمع والطرح والضرب والقسم في حسابات الأعداد.