حل المعادلات الخطية بالضرب الصفري (مسألة رياضيات)

المعادلة التي نحتاج لحلها هي:

لحل هذه المعادلة، نستخدم خاصية الضرب الصفري، حيث إذا كانت حاصل الضرب يساوي صفرًا، فإن أحد العوامل على الأقل يجب أن يكون صفراً. بمعنى آخر، يكون إحدى العوامل أو كلتاهما تساوي صفرًا.

لذا، يمكننا حل المعادلتين التاليتين:

1. $3x + 5 = 0$
2. $2x – 9 = 0$

لنبدأ بحل المعادلة الأولى:

نطرح 5 من الطرفين:

ثم نقسم كلا الطرفين على 3:

الآن، لنقوم بحل المعادلة الثانية:

نضيف 9 إلى الطرفين:

ثم نقسم كلا الطرفين على 2:

الآن، لنحسب مجموع الحلول. يكون ذلك بجمع الحلول اللذين وجدناهما:

لإيجاد مجموع الكسور، يجب أولاً توحيد المقامات. نجمع الكسور باستخدام مضاعف مشترك للمقامات، والذي هو 6:

ثم نجمع البسطين:

لذا، الجواب النهائي لمجموع الحلول هو $\frac{17}{6}$.

لحل مسألة الجذور للمعادلة $(3x+5)(2x-9) = 0$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر. هذه القوانين تشمل:

1. خاصية الضرب الصفريّ: إذا كانت حاصل الضرب لعددين (أو أكثر) يساوي صفرًا، فإن واحد على الأقل من هذه الأعداد يجب أن يكون صفرًا.
2. قانون التوزيع: ينص على أنه يمكننا ضرب كل عنصر في القوس الأول مع كل عنصر في القوس الثاني، ثم جمع المنتجات. هذا ينطبق في الضرب بين $(3x+5)$ و $(2x-9)$.
3. قواعد حساب الجبر: يشمل هذا قوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد والمتغيرات.

الآن، سنقوم بتفصيل حل المعادلة:

المعادلة: $(3x+5)(2x-9) = 0$

نستخدم خاصية الضرب الصفري لنقول إما أن $3x+5 = 0$ أو $2x-9 = 0$، أو كليهما معًا.

لحل $3x+5 = 0$:

لحل $2x-9 = 0$:

الآن، لدينا جذرين للمعادلة. لكننا لا نبتغي فقط حساب الجذور، بل أيضًا مجموعها.

لحساب مجموع الجذور، نجمع الجذور معًا:

نجمع الكسور بواسطة توحيد المقامات:

وبالتالي، مجموع الجذور هو $\frac{17}{6}$.

هذا الحل يعتمد على فهم القوانين الأساسية للجبر وتطبيقها بدقة لحل المسألة بشكل صحيح.