حل المعادلات الجبرية بالقوانين والهويات (مسألة رياضيات)

لنقوم بكتابة المعادلة الرياضية المعطاة وحل المسألة:

المعادلة:
$x^{10} + x^5 + X = (x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

الحل:
نعتمد على خاصية القسمة في الجبر لحساب القيمة المجهولة $X$. إذا كانت المعادلة صحيحة لكل قيمة من $x$، فإن ذلك يعني أن مضاعف الطرف الأيمن للمعادلة يساوي مضاعف الطرف الأيسر.

لذا، سنقوم بمضاعفة العاملين الأولين في الجهة اليمنى للمعادلة:
$(x^2+x+1) \times (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

سنستخدم الضرب الجبري لضرب العاملين. سنبدأ بضرب $x^2$ في كل جزء من العامل الثاني:
$x^2 \times (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

$= x^{10} – x^9 + x^7 – x^6 + x^5 – x^3 + x^2$

ثم سنقوم بضرب $x$ في كل جزء:
$x \times (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

$= x^9 – x^8 + x^6 – x^5 + x^4 – x^2 + x$

وأخيرًا، سنقوم بضرب الثابت $1$ في كل جزء:
$1 \times (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

$= x^8 – x^7 + x^5 – x^4 + x^3 – x + 1$

الآن، سنقوم بجمع كل النواتج المتحصلة من الضرب:
$x^{10} – x^9 + x^7 – x^6 + x^5 – x^3 + x^2 + x^9 – x^8 + x^6 – x^5 + x^4 – x^2 + x + x^8 – x^7 + x^5 – x^4 + x^3 – x + 1$

الأنواع المتشابهة ستلغي بعضها البعض، ونحصل على:
$x^{10} + x^5 + 1$

وهذا يتطابق مع المعادلة الأصلية. إذاً، قيمة المجهول $X$ هي $1$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين والخصائص المتعلقة بالجبر.

المعادلة المعطاة:
$x^{10} + x^5 + X = (x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

نريد حساب قيمة المجهول $X$.

بدايةً، لنقوم بحل المعادلة بمفهوم الهويّة الجبرية. هوية الجبر تقول إنه إذا كانت معادلة صحيحة لكل قيمة من المتغيرات، فإن الأعداد المتقابلة في المعادلة الناتجة عن ضرب العوامل يجب أن تكون متساوية.

لذا، سنقارن المعاملات المتقابلة في كلا الجهتين للتأكد من صحة المعادلة.

التعبير الأيسر:
$x^{10} + x^5 + X$

التعبير الأيمن:
$(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

سنقارن المعاملات المتقابلة:

1. المعاملات للدرجة $x^{10}$:

   • الجهة اليسرى: $1$
   • الجهة اليمنى: $1$ (من $x^2 \times x^8$)

2. المعاملات للدرجة $x^5$:

   • الجهة اليسرى: $1$
   • الجهة اليمنى: $1$ (من $x \times x^4 \times x$)

3. المعامل الثابت:

   • الجهة اليسرى: $X$
   • الجهة اليمنى: $1$ (من $1 \times 1$)

إذاً، يمكننا القول إنه عند ضرب $(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$، سنحصل على نفس المعاملات التي تظهر في المعادلة الأصلية. وبما أنها تتوافق، يمكننا استنتاج أن قيمة المجهول $X$ هي صفر.

القوانين والخصائص المستخدمة:

1. هوية الجبر:

   • إذا كانت معادلة صحيحة لكل قيمة من المتغيرات، فإن الأعداد المتقابلة في المعادلة الناتجة عن ضرب العوامل يجب أن تكون متساوية.

2. ضرب العوامل:

   • عند ضرب عاملين، يتم ضرب كل مصطلح في العامل الأول بكل مصطلح في العامل الثاني.

3. التحليل الجبري:

   • يتم تحليل المعادلات إلى عوامل لفحص القيم المتقابلة.

بهذا الشكل، نكون قد حللنا المسألة ووجدنا قيمة المجهول $X$ بالاعتماد على قوانين الجبر والهويات.