حل المعادلات الثانوية: شروط الحلول الحقيقية (مسألة رياضيات)

نريد العثور على جميع القيم الإيجابية لـ $c$ بحيث تكون المعادلة $x^2 – 6x + c < 0$ لها حلول حقيقية لـ $x$.

لحل هذه المسألة، يجب أن نأخذ في الاعتبار شرط الجذر المربعي للمعادلة الثانوية. إذا كان الجذر المربعي للمعادلة الثانوية الصغرى من الصفر، فإن المعادلة ستكون لها حلات حقيقية.

نبدأ بتحليل الجذر المربعي للمعادلة $x^2 – 6x + c = 0$ باستخدام الصيغة التالية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -6$، و $c$ هو القيمة التي نريد حسابها.

بما أننا نريد الجذور أن تكون حقيقية، فإن التعبير $b^2 – 4ac$ يجب أن يكون موجباً. لذا، يجب أن نفحص الشرط التالي:

$b^2 – 4ac > 0$

باستبدال القيم المعطاة، نحصل على:

$(-6)^2 – 4(1)(c) > 0$
$36 – 4c > 0$

الآن نحل هذه الحالة:

$36 – 4c > 0$
$4c < 36$
$c < 9$

وبالتالي، نجد أن جميع القيم الإيجابية لـ $c$ تكون أصغر من 9. لذا، الإجابة النهائية هي:

$c \in (0, 9)$

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم الشروط التي تضمن وجود حلول حقيقية للمعادلة الثانوية $x^2 – 6x + c < 0$، حيث $c$ تمثل عامل التحكم في المعادلة.

نستخدم القاعدة الأساسية للمعادلات الثانوية للتحقق من وجود حلول حقيقية. هذه القاعدة تنص على أن المعادلة الثانوية $ax^2 + bx + c = 0$ تمتلك حلولاً حقيقية إذا كان الجزء تحت الجذر في الصيغة العامة للجذر المربعي ($b^2 – 4ac$) إيجابياً.

بالتطبيق على حالتنا، نقوم بتطبيق الشرط التالي:

$b^2 – 4ac > 0$

حيث:

• $a = 1$ (معامل الـ$x^2$)
• $b = -6$ (معامل الـ$x$)
• $c$ هو العامل الذي نريد حسابه.

نعرف أن $b^2 – 4ac$ هو جزء تحت الجذر في الصيغة العامة للجذر المربعي. إذا كان هذا الجزء أكبر من صفر، فإن المعادلة لديها حلول حقيقية.

بعد حل المعادلة $b^2 – 4ac > 0$، نجد قيمة $c$ التي تحقق هذا الشرط. بالتالي، نحدد القيم الإيجابية لـ $c$ التي تجعل المعادلة الثانوية تمتلك حلولاً حقيقية.

القوانين المستخدمة:

1. الشرط الأساسي لوجود حلول حقيقية للمعادلة الثانوية: $b^2 – 4ac > 0$.
2. قاعدة حساب جذر المعادلة الثانوية: $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.

بناءً على هذه القوانين، نحسب القيمة المناسبة لـ $c$ ونحدد النطاق الذي تنتمي إليه القيم الإيجابية لـ $c$ لتحقيق الشرط المطلوب.