حل المشكلات: تقسيم كلاب بطريقة فريدة (مسألة رياضيات)

لدينا 10 كلاب يتعين تقسيمها إلى ثلاث مجموعات، إحداها تحتوي على X كلب، والثانية على 5 كلاب، والثالثة على 2 كلب. يوجد 420 طريقة لتكوين هذه المجموعات بحيث تحتوي المجموعة ذات الحجم 3 على كلب يسمى فلوفي، والمجموعة ذات الحجم 5 على كلب يسمى نيبر. ما هي قيمة المتغير X الغير معروف؟

لحل هذه المسألة، دعونا نستخدم الطريقة التحليلية. لنبدأ بتحديد كمية الطرق التي يمكننا بها اختيار كلب فلوفي ليكون في المجموعة ذات الحجم 3. بما أن هناك 10 كلاب، فإن عدد الطرق التي يمكن بها اختيار فلوفي هو 10.

الآن، بعد اختيار فلوفي، نحتاج إلى اختيار 2 كلاب إضافية لتكوين المجموعة ذات الحجم 3. عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار الكلاب الإضافية هو 9 (10 كلاب الإجمالية – 1 فلوفي).

لتكوين المجموعة ذات الحجم 5، يجب أن نختار 4 كلاب إضافية من الكلاب المتبقية (10 كلاب – 3 كلاب في المجموعة ذات الحجم 3 – 1 فلوفي). عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار الكلاب الإضافية هو 6.

أخيرًا، المجموعة ذات الحجم 2 تحتوي على الكلاب المتبقية، وهي 3 كلاب (10 كلاب – 3 كلاب في المجموعة ذات الحجم 3 – 5 كلاب في المجموعة ذات الحجم 5).

للوصول إلى عدد الطرق الإجمالي لتكوين هذه المجموعات، نقوم بضرب عدد الطرق لكل خطوة معًا:

$10 \times 9 \times 6 \times 3 = 1620.$

لكننا نعلم أن هناك 420 طريقة فقط، لذلك نقسم الناتج على عدد الطرق الفعلي:

$\frac{1620}{420} = 3.$

إذاً، قيمة المتغير X هي 3.

بدعم من الطريقة التحليلية، نستخدم مبدأ الضرب في حساب عدد الطرق لتكوين المجموعات. لنحل هذه المسألة، سنعتمد على قوانين الاحتمالات والتحليل التكاملي. سنستخدم القاعدة التالية:

قاعدة الضرب:
إذا كانت لدينا n مهام، وكانت العملية تتكون من مراحل متعددة، وكل مرحلة تتأثر بالمرحلة السابقة، فإن عدد الطرق الإجمالي لإكمال جميع المراحل هو حاصل ضرب عدد الطرق لكل مرحلة.

التحليل التكاملي:
نستخدم هذا المفهوم لتجنب الاحتمالات المتكررة. عندما نقوم بحساب عدد الطرق لكل مرحلة، نقوم بالتحليل بناءً على الحالات الممكنة في كل مرحلة بحيث تكون النتيجة الإجمالية هي ضرب عدد الحالات في كل مرحلة.

الآن، لنقم بتفصيل الحل:

1. اختيار كلب فلوفي (مرحلة 1):

   • عدد الطرق لاختيار فلوفي هو 10.

2. اختيار 2 كلاب إضافية للمجموعة ذات الحجم 3 (مرحلة 2):

   • بعد اختيار فلوفي، يتبقى 9 كلاب. لذا، عدد الطرق هو 9.

3. اختيار 4 كلاب إضافية للمجموعة ذات الحجم 5 (مرحلة 3):

   • بعد اختيار فلوفي والكلاب في المجموعة ذات الحجم 3، يتبقى 6 كلاب. لذا، عدد الطرق هو 6.

4. الكلاب المتبقية تشكل المجموعة ذات الحجم 2 (مرحلة 4):

   • بعد اختيار الكلاب في المجموعتين السابقتين، تبقى 3 كلاب. لذا، عدد الطرق هو 3.

الآن، نضرب عدد الطرق في كل مرحلة معًا:
$10 \times 9 \times 6 \times 3 = 1620.$

ومن ثم، نقسم عدد الطرق الإجمالي على عدد الطرق الفعلي المطلوب (420):
$\frac{1620}{420} = 3.$

لذا، قيمة المتغير X هي 3.

تمثل هذه العملية استخدام مفهومي الضرب والتحليل التكاملي في الحسابات الرياضية وتطبيقها في حل المشكلات العملية.