حل المسألة: حبات الأرز على لوح الشطرنج (مسألة رياضيات)

على لوح شطرنج كبير، تقوم امرأة بتسمية المربعات من 1 إلى 64 وتضع 2^k حبة من الأرز على كل مربع. كم هو عدد حبات الأرز الإضافية التي يتم وضعها على المربع العاشر مقارنة بمجموع الحبات الموجودة على المربعات الثمانية الأولى؟

لنقم بحساب عدد حبات الأرز في كل مربع من المربعات الثمانية الأولى ثم نحسب عدد حبات الأرز على المربع العاشر ونقارن بينهما.

أولاً، نقوم بحساب عدد حبات الأرز في المربعات الثمانية الأولى. نبدأ بالمربع الأول ونتابع حتى المربع الثامن.

المربع الأول: $2^0 = 1$ حبة
المربع الثاني: $2^1 = 2$ حبة
المربع الثالث: $2^2 = 4$ حبة
المربع الرابع: $2^3 = 8$ حبة
المربع الخامس: $2^4 = 16$ حبة
المربع السادس: $2^5 = 32$ حبة
المربع السابع: $2^6 = 64$ حبة
المربع الثامن: $2^7 = 128$ حبة

الآن، سنجمع عدد الحبات في المربعات الثمانية الأولى:

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255$ حبة.

الآن، سنحسب عدد حبات الأرز على المربع العاشر:

المربع العاشر: $2^9 = 512$ حبة.

الآن، سنقوم بحساب الفرق بين عدد حبات الأرز في المربع العاشر ومجموع الحبات في المربعات الثمانية الأولى:

$512 – 255 = 257$ حبة.

إذاً، يتم وضع 257 حبة إضافية على المربع العاشر مقارنة بمجموع الحبات في المربعات الثمانية الأولى.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق قوانين الأسس والتسلسل الهندسي لحساب عدد حبات الأرز على كل مربع، ثم سنجمع النتائج ونقارن بينها للوصول إلى الإجابة النهائية.

1. قانون الأسس:
   قانون الأسس يقول إنه عند رفع عدد ما إلى قوة موجبة، يتم ضرب هذا العدد في نفسه عدد القوة. في هذه المسألة، نقوم برفع العدد 2 إلى قوة تتغير من مربع لآخر.

2. التسلسل الهندسي:
   في التسلسل الهندسي، يتم تكرار العملية ضرب عدد ثابت (النسبة) في كل عنصر متتالي للحصول على العناصر التالية في التسلسل. في هذه المسألة، النسبة هي 2.

الآن، سنقوم بحساب عدد حبات الأرز في كل مربع باستخدام قانون الأسس والتسلسل الهندسي:

• المربع الأول: $2^0 = 1$ حبة
• المربع الثاني: $2^1 = 2$ حبة
• المربع الثالث: $2^2 = 4$ حبة
• المربع الرابع: $2^3 = 8$ حبة
• المربع الخامس: $2^4 = 16$ حبة
• المربع السادس: $2^5 = 32$ حبة
• المربع السابع: $2^6 = 64$ حبة
• المربع الثامن: $2^7 = 128$ حبة
• المربع التاسع: $2^8 = 256$ حبة
• المربع العاشر: $2^9 = 512$ حبة

الآن، سنقوم بجمع عدد حبات الأرز في المربعات الثمانية الأولى:

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255$ حبة.

الآن، سنحسب الفرق بين عدد حبات الأرز في المربع العاشر ومجموع الحبات في المربعات الثمانية الأولى:

$512 – 255 = 257$ حبة.

وبالتالي، يتم وضع 257 حبة إضافية على المربع العاشر مقارنة بمجموع الحبات في المربعات الثمانية الأولى.