حل المسألة: توزيع 6 أقلام بين ثلاثة أصدقاء (مسألة رياضيات)

عدد الطرق التي يمكن بها توزيع 6 أقلام متطابقة بين ثلاثة أصدقاء، بحيث يكون لكل شخص على الأقل قلم واحد، هو 84 طريقة.

لحساب هذا، يمكننا استخدام مفهوم توزيع الكرات في الصناديق، حيث يمثل كل صندوق شخصًا، والكرات تمثل الأقلام. نحن نريد توزيع الأقلام بحيث يحصل كل شخص على قلم واحد على الأقل.

للقراءة بالتفصيل:
نبدأ بالنظر إلى الطرق التي يمكن فيها لشخص واحد الحصول على الأقلام. لديه 6 طرق للاختيار منها (ليكون لديه 1، 2، 3، 4، 5، أو 6 أقلام). ثم، بما أن كل شخص يجب أن يملك على الأقل قلم واحد، نقوم بتخصيص قلم واحد لكل شخص، ونبقى بذلك بعدد الأقلام المتبقية.

بعد توزيع القلم الأول لكل شخص، نحن نواجه الآن توزيع الأقلام المتبقية (5 أقلام) بين الأشخاص الثلاثة. هنا يمكننا استخدام الطريقة نفسها لتوزيع الأقلام. لكل شخص يمكن أن يكون لديه 5 طرق للاختيار منها، وبما أن هناك ثلاثة أشخاص، نحصل على 5 * 5 * 5 = 125 طريقة لتوزيع الأقلام.

الآن، نضرب عدد الطرق لتوزيع القلم الأول (6 طرق) بعدد الطرق لتوزيع الأقلام المتبقية (125 طريقة) لنحصل على الإجمالي. الناتج هو 6 * 125 = 750 طريقة. ولكن يجب أن نستبعد الحالة التي تحصل فيها يحصل شخص ما على جميع الأقلام (وهي حالة واحدة)، لذا نقوم بطرح 1 من الناتج النهائي.

إذاً، عدد الطرق الكلي هو 750 – 1 = 749 طريقة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ توزيع الكرات في الصناديق، وهو مبدأ يعتمد على قوانين الاحتمالات. في هذه المسألة، يُمثل كل صندوق شخصًا، والكرات تُمثل الأقلام، ونريد توزيع هذه الأقلام بحيث يحصل كل شخص على قلم واحد على الأقل.

الخطوات:

1. توزيع الأقلام الأولى:

   • لنبدأ بتوزيع الأقلام الأولى. يوجد 6 أقلام متطابقة، وكل شخص يجب أن يحصل على قلم واحد على الأقل. لذا، هناك 6 طرق لتوزيع الأقلام الأولى للأشخاص الثلاثة.

2. توزيع الأقلام المتبقية:

   • بعد توزيع الأقلام الأولى، نبقى بـ5 أقلام. الآن يمكننا استخدام نفس المبدأ لتوزيع هذه الأقلام المتبقية. كل شخص يمكنه اختيار أحد الأقلام الخمس باستقلالية عن الآخرين. لذا، هناك 5 طرق لاختيار قلم للشخص الواحد، وإجمالاً هناك 5 * 5 * 5 طرق لتوزيع الأقلام المتبقية بين الأشخاص الثلاثة.

3. حساب الإجمالي:

   • لحساب الإجمالي، نضرب عدد الطرق لتوزيع الأقلام الأولى (6 طرق) في عدد الطرق لتوزيع الأقلام المتبقية (5 * 5 * 5 طرق).

   $6 \times (5 \times 5 \times 5) = 6 \times 125 = 750$

4. إستبعاد الحالة الغير مرغوبة:

   • يجب أن نستبعد الحالة التي يحصل فيها شخص ما على جميع الأقلام (وهي حالة واحدة). لذا، نطرح 1 من الناتج السابق.

   $750 – 1 = 749$

القوانين المستخدمة:

• مبدأ الضرب: يستخدم لحساب عدد الطرق في سلسلة من الأحداث المتسلسلة. في هذه المسألة، نستخدم مبدأ الضرب لحساب عدد الطرق لتوزيع الأقلام الأولى والمتبقية.
• مبدأ الاستبعاد: يستخدم لاستبعاد حالات غير مرغوب فيها. في هذه المسألة، نستخدمه لاستبعاد حالة حصول شخص على جميع الأقلام.