حل المسألة: الفائدة البسيطة والمعقدة

المبلغ (S.I.) على مبلغ معين من المال لمدة سنتين بنسبة 4٪ يعادل نصف المبلغ المعقد (C.I.) على 4000 روبية لمدة سنتين بنسبة 10٪. ما هو المبلغ الذي تم وضعه على الفائدة البسيطة؟

لنقم بتوضيح الحل:

الصيغة لحساب الفائدة البسيطة هي:
$S.I. = \frac{P \cdot R \cdot T}{100}$

حيث:
$S.I.$ هو الفائدة البسيطة.
$P$ هو المبلغ الرئيسي أو المبلغ المستعار.
$R$ هو معدل الفائدة السنوي.
$T$ هو الفترة الزمنية بالسنوات.

الصيغة لحساب الفائدة المعقدة هي:
$C.I. = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T – P$

حيث:
$C.I.$ هو الفائدة المعقدة.
$P$ هو المبلغ الرئيسي أو المبلغ المستعار.
$R$ هو معدل الفائدة السنوي.
$T$ هو الفترة الزمنية بالسنوات.

المعطيات في المسألة:
$S.I. = \frac{P \cdot 4 \cdot 2}{100}$
$C.I. = P \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P$
$C.I. = 4000$

وبناءً على الشرط الأول الذي ينص على أن $S.I.$ يعادل نصف $C.I.$:
$\frac{P \cdot 4 \cdot 2}{100} = \frac{1}{2} \cdot \left( P \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P \right)$

الآن نقوم بحساب قيمة $P$ باستخدام هذه المعادلة ونحسب القيمة النهائية.

لنقم بتفصيل حل المسألة وذلك باستخدام القوانين المستخدمة في الرياضيات المالية. دعونا نستخدم الرموز التالية:

$P$: المبلغ الرئيسي أو المبلغ المستعار.
$R$: معدل الفائدة السنوي.
$T$: الفترة الزمنية بالسنوات.
$S.I.$: الفائدة البسيطة.
$C.I.$: الفائدة المعقدة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الفائدة البسيطة:
   $S.I. = \frac{P \cdot R \cdot T}{100}$

2. قانون الفائدة المعقدة:
   $C.I. = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T – P$

3. شرط المسألة:
   $S.I. = \frac{1}{2} \cdot C.I.$

الخطوات:

أولاً، نستخدم قانون الفائدة البسيطة لحساب $S.I.$:
$S.I. = \frac{P \cdot 4 \cdot 2}{100}$

ثم، نستخدم قانون الفائدة المعقدة لحساب $C.I.$:
$C.I. = P \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P$
$C.I. = 4000$

ثم، نستخدم شرط المسألة الذي يفيد أن $S.I.$ يعادل نصف $C.I.$:
$\frac{P \cdot 4 \cdot 2}{100} = \frac{1}{2} \cdot \left( P \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P \right)$

نقوم بحساب القيم باستخدام الحسابات الجبرية ونحسب قيمة $P$. بعد ذلك، يمكننا التحقق من الإجابة والتأكد من أن الفائدة البسيطة تكون نصف الفائدة المعقدة.