حل المسألة الرياضية: تعويض وتبسيط التعبيرات (مسألة رياضيات)

إذا كانت
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3$
و
$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0,$
فلنحاول حل المعادلات.

من المعادلة الأولى، نستطيع كتابة:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3 \implies x = 3a – \frac{ay}{b} – \frac{az}{c}$
ومن المعادلة الثانية، يمكن كتابة:
$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0 \implies a = -\frac{bx}{y} – \frac{cz}{z}$

الآن، سنقوم بتعويض قيمة $x$ و $a$ من المعادلات السابقة في التعبير الذي نريد إيجاد قيمته:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$

نقوم بتعويض القيم بالتالي:
$\frac{(3a – \frac{ay}{b} – \frac{az}{c})^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$
والآن نحاول حساب التعبير التالي:

$\frac{(3a – \frac{ay}{b} – \frac{az}{c})^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$

سنقوم بتبسيط التعبير أولاً، عن طريق استخدام التعويضات وبعدها سنوسع العبارات ونقوم بحساب القيم.

$\frac{(9a^2 – 6a \cdot \frac{ay}{b} – 6a \cdot \frac{az}{c} + \frac{a^2y^2}{b^2} + \frac{2a^2yz}{bc} + \frac{a^2z^2}{c^2})}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$

الآن نقوم بإلغاء الأسي وتبسيط العبارات:

$9 – 6\frac{y}{b} – 6\frac{z}{c} + \frac{y^2}{b^2} + 2\frac{yz}{bc} + \frac{z^2}{c^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$

نلاحظ أن لدينا عبارات مشتركة، لذا نقوم بجمعها معًا:

$9 – 6\frac{y}{b} – 6\frac{z}{c} + 2\frac{yz}{bc} + 2\frac{y^2}{b^2} + 2\frac{z^2}{c^2}$

الآن، سنقوم بجمع العبارات المتشابهة:

$9 – 6\left(\frac{y}{b} + \frac{z}{c}\right) + 2\left(\frac{yz}{bc} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}\right)$

نحاول جمع العبارة التالية:
$\frac{yz}{bc} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$
وهنا نلاحظ أن لدينا عبارة تشبه المعادلة الثانية، لذا من المعادلة الثانية نعرف أنها تساوي صفر.

لذا:
$\frac{yz}{bc} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0$

وبالتالي:
$9 – 6\left(\frac{y}{b} + \frac{z}{c}\right)$

ومن المعادلة الأولى نعرف أن $\frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3$
وبالتالي:
$9 – 6 \times 3 = 9 – 18 = -9$

لذا القيمة التي نبحث عنها هي $-9$.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم قوانين الجبر والتلاوين الرياضية. الهدف هو إيجاد قيمة التعبير:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}.$

لنبدأ بتوضيح القوانين والخطوات المستخدمة في الحل:

1. قوانين الجبر:

   • قانون تكامل الكسور الجبرية.
   • قانون تكامل الكسور الجبرية المتشابهة.
   • قانون الضرب في الكسور الجبرية.
   • قانون الضرب في الأسس.
   • قانون توزيع العامل.

2. الخطوات:

   • استخدام المعادلات المعطاة لإيجاد قيم متبادلة بين $x, y, z$ و $a, b, c$.
   • تعويض القيم المتبادلة في التعبير المعطى للمسألة.
   • تبسيط التعبير وإيجاد الحل.

الآن، دعنا ننتقل إلى الخطوات التفصيلية للحل:

1. استخدام المعادلات المعطاة:
   نعلم أن:
   $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3 \quad \text{و} \quad \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0.$

2. حل المعادلات:
   نحل المعادلات للحصول على علاقات بين القيم:
   $x = 3a – \frac{ay}{b} – \frac{az}{c}$
   $a = -\frac{bx}{y} – \frac{cz}{z}$

3. تعويض القيم:
   نقوم بتعويض القيم في التعبير المعطى:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = \frac{(3a – \frac{ay}{b} – \frac{az}{c})^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}.$

4. تبسيط التعبير:
   نقوم بتبسيط التعبير بإلغاء الأسي وتبسيط العبارات.

5. الحساب:
   نقوم بحساب العبارات وجمعها معًا للوصول إلى الحل النهائي.

من خلال تطبيق هذه الخطوات واستخدام القوانين الجبرية المذكورة، نستطيع الوصول إلى القيمة النهائية للتعبير المعطى في المسألة.