حل المسألة الرياضية: تحليل وحساب النسب (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\frac{w}{x} = \frac{2}{3}$ و $\frac{w}{y} = \frac{3}{5}$، فإنه يُراد منا حساب قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$.

للبداية، سنقوم بحساب قيمة $w$ بطريقة تجميع النسب المعطاة:

إذاً:
$\frac{w}{x} = \frac{2}{3}$
نستنتج أن: $w = \frac{2x}{3}$

وأيضاً:
$\frac{w}{y} = \frac{3}{5}$
نستنتج أن: $w = \frac{3y}{5}$

الآن، نستطيع معادلة النسبتين وحساب قيمة $x$ و $y$:

$\frac{2x}{3} = \frac{3y}{5}$

للتخلص من المقامات، نقوم بضرب كلا الجانبين في القدر المشترك الأصغر، والذي هو $15$:

$5 \times 2x = 3 \times 3y$
$10x = 9y$

الآن، لدينا نظامين من المعادلات:
$\begin{cases} \frac{2x}{3} = \frac{w}{x} \\ 10x = 9y \end{cases}$

لحساب قيمة $x$ و $y$، نستخدم النظام السابق:

1. من المعادلة الأولى:
   $\frac{2x}{3} = \frac{2}{3}x$
   $2x = 2x$

2. من المعادلة الثانية:
   $10x = 9y$

إذاً، نجد أن قيمة $x$ لا تُؤثر في حساب القيمة المطلوبة $\frac{x + y}{y}$، لأنها تظهر في الجزء العلوي والسفلي من التعبير، وبالتالي يُمكننا إيجاد قيمة التعبير مباشرة:

$\frac{x + y}{y} = \frac{2 + \frac{3y}{5}}{\frac{3y}{5}}$

لتجنب التعقيد، نقوم بضرب الجزء العلوي والسفلي في 5 للتخلص من المقام في الجزء السفلي:

$\frac{5(2) + 3y}{3y}$

الآن، نقوم بتوحيد الجزء العلوي:

$\frac{10 + 3y}{3y}$

ونقوم بتفكيك الجزء العلوي إلى جزئين:

$\frac{10}{3y} + \frac{3y}{3y}$

وبسبب أن $\frac{3y}{3y} = 1$، يُمكننا إزالتها:

$\frac{10}{3y} + 1$

إذاً، تمثل قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$ الآن:

$\frac{10}{3y} + 1$

وهذه هي الإجابة المطلوبة.

لنقوم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام بعض الخطوات الإضافية والقوانين الرياضية المستخدمة:

المعطيات:
$\frac{w}{x} = \frac{2}{3}$
$\frac{w}{y} = \frac{3}{5}$

سنقوم أولاً بحساب قيمة $w$ باستخدام النسبة الأولى:
$w = \frac{2x}{3}$

وأيضاً باستخدام النسبة الثانية:
$w = \frac{3y}{5}$

الآن، نقوم بتعيين هاتين القيمتين متساويتين:
$\frac{2x}{3} = \frac{3y}{5}$

للتخلص من المقامات، نضرب الجانبين في القدر المشترك الأصغر الذي هو $15$، ونحصل على:
$5 \times 2x = 3 \times 3y$
$10x = 9y$

الآن، لنقم بحساب قيمة $x$ و $y$ باستخدام هذا النظام من المعادلات:
$\begin{cases} 10x = 9y \\ \frac{w}{x} = \frac{2}{3} \end{cases}$

من المعادلة الأولى:
$x = \frac{9}{10}y$

الآن، نستخدم هذه القيمة في المعادلة الثانية لحساب قيمة $w$، ونحصل على:
$w = \frac{2 \times \frac{9}{10}y}{3}$
$w = \frac{3}{5}y$

الآن لدينا القيم التي تساوي $w$ في كلا الحالتين:
$w = \frac{3}{5}y$
$w = \frac{2x}{3}$

بمجرد أن نعيد تعبير $w$ بما أننا الآن نعرف قيمتها:
$\frac{3}{5}y = \frac{2x}{3}$

نستخدم هذه المعادلة لحساب العلاقة بين $x$ و $y$ ونجد:
$x = \frac{9}{10}y$

الآن، لنحسب القيمة المطلوبة $\frac{x + y}{y}$، نستخدم القيمة التي حسبناها سابقًا:
$\frac{x + y}{y} = \frac{\frac{9}{10}y + y}{y}$

نوحد المقام بضربه في 10 للتخلص من الكسور:
$\frac{9 + 10}{10}$

ونحسب القيمة لنحصل على:
$\frac{19}{10}$

لذا، قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$ هي $\frac{19}{10}$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التناسب العكسي.
2. قانون الضرب في القدر المشترك الأصغر.
3. حساب النسب المتساوية.
4. حساب القيم المجهولة في نظام من المعادلات.
5. حساب العلاقة بين القيم المجهولة $x$ و $y$.

هذه القوانين تمثل الأسس الرياضية التي تم استخدامها في حل المسألة.