حل المسألة: أصغر عدد في أنظمة مختلفة (مسألة رياضيات)

المسألة تطلب إيجاد أصغر عدد صحيح في النظام العشري (base-10) الذي يمكن تمثيله كـ $12_a$ في نظام أساس (base) واحد، وكذلك كـ $21_b$ في نظام أساس آخر، حيث يكون $a$ و $b$ هما قواعد (bases) أكبر من 2.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الملاحظة التالية: العدد الذي يُمثّله $12_a$ في أي نظام عددي، يكون أقل من أو يساوي العدد الذي يمثله $21_b$ في النظام نفسه. هذا يعني أنه يجب أن نختبر جميع القيم الممكنة للـ $a$ و $b$ للعثور على أصغر عدد ممكن في النظام العشري يمكن تمثيله كـ $12_a$ و $21_b$ في نظامين مختلفين.

لنقم بالبحث عن الأصغر عدد في النظام العشري الذي يمكن تمثيله كـ $12_a$ و $21_b$ في النظام الآخر.

لـ $12_a$ في النظام العشري، نعبر عن العدد كـ $a + 2$.

لـ $21_b$ في النظام العشري، نعبر عن العدد كـ $2b + 1$.

وبما أننا نبحث عن أصغر عدد ممكن، فإننا نقترح بداية التجربة بأصغر القيم الممكنة لـ $a$ و $b$ وهما 3.

لـ $12_a$ في النظام العشري، العدد هو $(a + 2)$.
وعلينا أن نجد عددًا أصغر من 21 في النظام العشري يمكن تمثيله كـ $(a + 2)$ في نظام آخر، لذا يمكن أن نجرب القيم التالية:

1. لـ $a = 3$، نجد أن $12_3 = 3 + 2 = 5$ في النظام العشري.
2. لـ $a = 4$، نجد أن $12_4 = 4 + 2 = 6$ في النظام العشري.
3. لـ $a = 5$، نجد أن $12_5 = 5 + 2 = 7$ في النظام العشري.

بالنظر إلى هذه القيم، نرى أن القيمة الأصغر هي $5$ في النظام العشري.

الآن، نحن بحاجة لأصغر عدد في النظام العشري يمكن تمثيله كـ $21_b$ في النظام الآخر. ولكي نكون أصغر قدر ممكن، نبدأ بأصغر القيم لـ $b$ التي هي 3.

1. لـ $b = 3$، نجد أن $21_3 = 2(3) + 1 = 7$ في النظام العشري.
2. لـ $b = 4$، نجد أن $21_4 = 2(4) + 1 = 9$ في النظام العشري.
3. لـ $b = 5$، نجد أن $21_5 = 2(5) + 1 = 11$ في النظام العشري.

نلاحظ أن أصغر الأعداد في النظام العشري الممكن تمثيله كـ $21_b$ هو $7$.

الآن، نقوم بمقارنة الأعداد المحسوبة في كلا النظامين:

• في النظام العشري، أصغر عدد هو $5$.
• في النظام العشري الآخر، أصغر عدد هو $7$.

نتفق على أن العدد الأصغر في كلا النظامين هو $7$.

وبالتالي، العدد الأصغر في النظام العشري الذي يمكن تمثيله كـ $12_a$ و $21_b$ في نظامين مختلفين هو $7$.

لحل المسألة التي تتعلق بالعثور على أصغر عدد صحيح قابل للتمثيل كـ $12_a$ و $21_b$ في نظامين عددية مختلفين، يمكننا استخدام القوانين التالية:

1. تمثيل الأعداد في أنظمة مختلفة:

   • في النظام العشري (base-10): نستخدم الأرقام من 0 إلى 9 لتمثيل القيم.
   • في الأنظمة الأخرى: يمكن استخدام الأرقام من 0 إلى (n-1) لتمثيل القيم، حيث أن n هو قاعدة النظام (base).

2. تحويل الأعداد بين الأنظمة:

   • لتحويل العدد من النظام العشري إلى نظام آخر، نستخدم عملية تقسيم العدد على القاعدة الجديدة ونستخدم الباقي كقيمة للرقم الأصغر.
   • لتحويل العدد من نظام آخر إلى النظام العشري، نقوم بضرب كل رقم في العدد بالقاعدة المرتبطة به ونجمع النتائج.

3. مقارنة الأعداد:

   • نستخدم عملية المقارنة للعثور على العدد الأصغر في النظامين.

الآن، لحل المسألة، نقوم بتجربة جميع القيم الممكنة لـ $a$ و $b$ بدءًا من القيم الصغيرة وصولاً إلى القيم الكبيرة. لكل قيمة من هذه القيم، نقوم بتحويل $12_a$ و $21_b$ إلى النظام العشري ونقارن الأعداد للعثور على الأصغر بينها.

بعد ذلك، نقارن الأعداد التي تم العثور عليها في كلا النظامين ونحدد الأصغر بينها.

بهذه الطريقة، يمكننا العثور على العدد الأصغر الذي يمكن تمثيله كـ $12_a$ و $21_b$ في نظامين مختلفين، مع استخدام القوانين والخطوات المذكورة أعلاه.