حلا لمعادلة رياضية معقدة بخمس خطوات (مسألة رياضيات)

إذا كانت المعادلة التالية صحيحة: $x^2 + \frac{9}{x^2} = 10$، فما هو قيمة التعبير $\frac{x – 3}{x}$؟

لحل هذه المسألة، نبدأ بتنظيف المعادلة. نقوم بضرب كلا الطرفين في $x^2$ للتخلص من المقام في الكسر:

$x^2 \times \left( x^2 + \frac{9}{x^2} \right) = 10 \times x^2$

نقوم بالتوسيع:

$x^4 + 9 = 10x^2$

ثم ننقل جميع الأعضاء إلى الجهة اليمنى:

$x^4 – 10x^2 + 9 = 0$

الآن، نقوم بتعيين متغير آخر لتسهيل الحسابات. لنقم بتعيين $y = x^2$، وبذلك تصبح المعادلة:

$y^2 – 10y + 9 = 0$

الآن، نقوم بحل هذه المعادلة الثانوية باستخدام العوامل:

$(y – 1)(y – 9) = 0$

إذاً، يمكننا أن نجد قيم $y$ عندما تكون العبارة $y – 1 = 0$ أو $y – 9 = 0$، وهي 1 و 9.

الآن، نستعيد قيم $x$ بتعويض $x^2$ مكان $y$:

$x^2 = 1$ أو $x^2 = 9$

إذاً، $x = \pm 1$ أو $x = \pm 3$

المتغير $x$ له أربع قيم ممكنة. الآن، نقوم بتعويض كل قيمة في التعبير $\frac{x – 3}{x}$ للعثور على الإجابة:

1. عند $x = 1$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{1 – 3}{1} = -2$
2. عند $x = -1$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{-1 – 3}{-1} = 4$
3. عند $x = 3$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{3 – 3}{3} = 0$
4. عند $x = -3$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{-3 – 3}{-3} = 2$

إذاً، لأربع قيم مختلفة لـ $x$، هناك أربع قيم مختلفة للتعبير $\frac{x – 3}{x}$ وهي -2، 4، 0، و2.

بالطبع، دعونا نقم بحل المسألة بتفصيل أكثر ونذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تتطلب حلاً للمعادلة التالية: $x^2 + \frac{9}{x^2} = 10$ ومن ثمّ حساب قيمة التعبير $\frac{x – 3}{x}$ باستنتاج القيم الممكنة لـ $x$.

الخطوة 1: تنظيف المعادلة

نقوم بضرب كلا الطرفين في $x^2$ للتخلص من المقام في الكسر:

$x^2 \times \left( x^2 + \frac{9}{x^2} \right) = 10 \times x^2$

نقوم بتوسيع المعادلة:

$x^4 + 9 = 10x^2$

ثم نقوم بتجميع الأعضاء في الجهة اليسرى:

$x^4 – 10x^2 + 9 = 0$

الخطوة 2: حل المعادلة الثانوية

نقوم بتعيين متغير آخر لتسهيل الحسابات: $y = x^2$، وبذلك تصبح المعادلة:

$y^2 – 10y + 9 = 0$

نقوم بحل هذه المعادلة باستخدام العوامل:

$(y – 1)(y – 9) = 0$

في النهاية، نحصل على قيمتين ممكنتين لـ $y$ وهما 1 و 9.

الخطوة 3: استعادة قيم $x$

نستعيد قيم $x$ بتعويض $x^2$ مكان $y$:

$x^2 = 1$ أو $x^2 = 9$

إذاً، $x = \pm 1$ أو $x = \pm 3$

الخطوة 4: حساب قيمة $\frac{x – 3}{x}$ لكل قيمة ممكنة لـ $x$

1. عند $x = 1$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{1 – 3}{1} = -2$
2. عند $x = -1$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{-1 – 3}{-1} = 4$
3. عند $x = 3$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{3 – 3}{3} = 0$
4. عند $x = -3$، $\frac{x – 3}{x} = \frac{-3 – 3}{-3} = 2$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. ضرب الطرفين في $x^2$: للتخلص من المقام في الكسر وتسهيل الحسابات.
2. استخدام معادلة ثانوية: لتحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة ثانوية تسهّل الحل.
3. حل المعادلة الثانوية باستخدام العوامل: للعثور على القيم الممكنة للمتغير.
4. استعادة القيمة الأصلية لـ $x$: للحصول على القيم الممكنة للمتغير الأصلي.
5. تعويض القيم في التعبير المعطى: للحصول على الإجابات النهائية.

باستخدام هذه القوانين، تم تفكيك المسألة وحلها بطريقة دقيقة ومنهجية.