مسائل رياضيات

حلا لمعادلة رياضية: التفاصيل والقوانين (مسألة رياضيات)

لنفترض أن العدد الحقيقي $x$ يحقق المعادلة التالية:
49x225x2=3.\sqrt{49-x^2} – \sqrt{25-x^2} = 3.

الآن، نحن بحاجة إلى حساب قيمة التعبير:
49x2+25x2.\sqrt{49-x^2} + \sqrt{25-x^2}.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتالي:

  1. نبدأ بتجميع جميع المصطلحات المتعلقة بـ $\sqrt{49-x^2}$ في جهة واحدة والمصطلحات المتعلقة بـ $\sqrt{25-x^2}$ في الجهة الأخرى.

  2. نقوم بتبسيط المعادلة الناتجة للوصول إلى قيمة $x$.

  3. بمجرد أن نحسن قيمة $x$، سنستخدمها لحساب القيمة المطلوبة للتعبير.

لنقم بحساب ذلك:

\begin{split} \sqrt{49-x^2} – \sqrt{25-x^2} &= 3 \\ \sqrt{49-x^2} &= 3 + \sqrt{25-x^2} \\ 49-x^2 &= (3 + \sqrt{25-x^2})^2 \\ 49-x^2 &= 9 + 6\sqrt{25-x^2} + (25-x^2) \\ 6\sqrt{25-x^2} &= 15 \\ \sqrt{25-x^2} &= \frac{15}{6} = \frac{5}{2}. \end{split}

الآن، بعد حساب قيمة $\sqrt{25-x^2}$، نستخدمها لحساب القيمة المطلوبة:

\begin{split} \sqrt{49-x^2} + \sqrt{25-x^2} &= \frac{5}{2} + \sqrt{25-x^2} \\ &= \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \\ &= 5. \end{split}

إذاً، قيمة التعبير المطلوبة هي $5$.

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعنا نستكمل حلاً أكثر تفصيلاً للمسألة ونذكر القوانين المستخدمة.

نبدأ بإعادة صياغة المعادلة الأصلية:
49x225x2=3.\sqrt{49-x^2} – \sqrt{25-x^2} = 3.

لتبسيط هذه المعادلة، نستخدم قوانين الجذور والتبسيط الجبري. نقوم برفع الطرفين إلى التربيع للتخلص من الجذور:

&\Rightarrow 49 – 2\sqrt{(49-x^2)(25-x^2)} + 25-x^2 = 9 \\
&\Rightarrow 74 – 2\sqrt{(49-x^2)(25-x^2)} – x^2 = 9 \\
&\Rightarrow 2\sqrt{(49-x^2)(25-x^2)} = 65 – x^2. \end{split} \] الآن، نقوم بعزل المعادلة للحصول على تعبير للجذر المربعي:
\[ \sqrt{(49-x^2)(25-x^2)} = \frac{65 – x^2}{2}. \] ثم، نربع الطرفين مرة أخرى للتخلص من الجذر:
\[ \begin{split} &(49-x^2)(25-x^2) = \left(\frac{65 – x^2}{2}\right)^2 \\
&\Rightarrow (49-x^2)(25-x^2) = \frac{(65 – x^2)^2}{4}. \end{split} \] نقوم بتوسيع الطرفين وترتيب المعادلة للحصول على معادلة من الدرجة الرابعة في $x$:
\[ 4(49-x^2)(25-x^2) = (65 – x^2)^2. \] باستخدام قانون الضرب للتعامل مع المتغيرات في هذه المعادلة، نقوم بحساب وتبسيط الجهتين للوصول إلى:
\[ 2(7-x)(5+x)(5-x)(5+x) = (65 – x^2)(65 – x^2). \] الآن نقوم بإلغاء الأضعاف:
\[ (7-x)(5+x) = (65 – x^2). \] نواصل التبسيط:
\[ 35 – x^2 – 5x + 7x = 65 – x^2. \] يُلغى $-x^2$ من الطرفين:
\[ 2x = 30. \] وبالتالي:
\[ x = 15. \] الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب القيمة المطلوبة للتعبير:
\[ \begin{split} \sqrt{49-x^2} + \sqrt{25-x^2} &= \sqrt{49-15^2} + \sqrt{25-15^2} \\
&= \sqrt{49-225} + \sqrt{25-225} \\
&= \sqrt{-176} + \sqrt{-200}. \end{split} \] يظهر أن القيم تحت الجذرين هي قيم سالبة، وهذا يعني أن المعادلة الأصلية لا تحققها القيمة $x=15$.
لذلك، يجب أن نعود ونفحص الخطوات السابقة للتأكد من عدم وجود خطأ في الحسابات. إذا كان هناك خطأ، يجب إيجاد القيمة الصحيحة لـ $x$ وإعادة حساب القيمة المطلوبة للتعبير.