حلا لمعادلة تنطبق على اللوغاريتم (مسألة رياضيات)

المسألة:

إذا كان $a$ عدد صحيح غير صفر، و $b$ عدد موجب بحيث ينطبق $ab^2 = \log_{10} b$، فما هو الوسيط لمجموعة الأعداد $\{0, X, a, b, \frac{1}{b}\}$؟ وما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:

لنبدأ بحساب قيمة $\frac{1}{b}$ باستخدام المعادلة $ab^2 = \log_{10} b$، حيث يمكننا حساب قيمة $b$ ثم استخدامها للعثور على $\frac{1}{b}$.

نعرف أن $ab^2 = \log_{10} b$، لنقم بتحويل المعادلة إلى صورة أخرى:
$ab^2 = \log_{10} b$
$b^{ab^2} = 10^{\log_{10} b}$
$b^{ab^2} = b$

الآن، نلاحظ أنه إذا كان $b^{ab^2} = b$، فإن $ab^2$ يجب أن يكون يساوي 1. لذا:
$ab^2 = 1$
$b^2 = \frac{1}{a}$
$b = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}$

ونظرًا لأن $b$ هو عدد موجب، نختار القيمة الموجبة:
$b = \sqrt{\frac{1}{a}}$

الآن، لدينا قيمة $b$، وبالتالي يمكننا حساب قيمة $\frac{1}{b}$:
$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a}}} = \sqrt{a}$

الآن، لنحسب الوسيط للمجموعة $\{0, X, a, b, \frac{1}{b}\}$. أولاً، يجب ترتيب المجموعة بترتيب تصاعدي:
$\{0, \sqrt{a}, a, b, \frac{1}{b}\}$

الوسيط هو العنصر الوسطي للمجموعة المرتبة، وهو $a$ في هذه الحالة.

إذا كانت القيم المحسوبة صحيحة، فإن الوسيط للمجموعة هو $a$ وقيمة المتغير المجهول $X$ هي $\sqrt{a}$.

بالطبع، سنقوم بتوضيح تفاصيل أكثر لحل المسألة وسنُذكر القوانين والخطوات التي تم اتباعها.

المسألة:

إذا كان $a$ عدد صحيح غير صفر، و $b$ عدد موجب بحيث ينطبق $ab^2 = \log_{10} b$، فما هو الوسيط لمجموعة الأعداد $\{0, X, a, b, \frac{1}{b}\}$؟ وما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:

الخطوة 1: حساب قيمة $\frac{1}{b}$ باستخدام المعادلة $ab^2 = \log_{10} b$:

نبدأ بتحويل المعادلة $ab^2 = \log_{10} b$ إلى صورة أخرى:
$ab^2 = \log_{10} b$
$b^{ab^2} = 10^{\log_{10} b}$
$b^{ab^2} = b$

إذاً، $ab^2 = 1$، ومن ثم $b^2 = \frac{1}{a}$، ونحصل على $b = \sqrt{\frac{1}{a}}$.

الخطوة 2: حساب $\frac{1}{b}$:

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a}}} = \sqrt{a}$

الخطوة 3: ترتيب المجموعة وحساب الوسيط:

نقوم بترتيب المجموعة بترتيب تصاعدي:
$\{0, \sqrt{a}, a, b, \frac{1}{b}\}$

الوسيط هو العنصر الوسطي، وهو $a$ في هذه الحالة.

القوانين المستخدمة:

1. خاصية اللوغاريتم:
   $ab^2 = \log_{10} b$

2. تحويل اللوغاريتم إلى قوة:
   $ab^2 = \log_{10} b \implies b^{ab^2} = b$

3. حل المعادلة:
   $ab^2 = 1 \implies b = \sqrt{\frac{1}{a}}$

4. حساب $\frac{1}{b}$:
   $\frac{1}{b} = \sqrt{a}$

5. ترتيب المجموعة وحساب الوسيط:
   تم ترتيب المجموعة بترتيب تصاعدي، وحساب الوسيط كعنصر وسطي.

باختصار، استخدمنا قوانين اللوغاريتم والحساب لحل المعادلة والعثور على القيم المطلوبة.