حلا لمعادلة تربيعية: الجذر والتحقق (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية التي علينا حلها هي إيجاد مجموع جميع الحلول للمعادلة $(x-6)^2=25$. لحل هذه المسألة، نبدأ بفحص المعادلة بعناية لفهم الحلول الممكنة.

المعادلة الأساسية هي $(x-6)^2=25$. نبدأ باستخدام خاصية الجذر للتخلص من الأس الثاني. نأخذ الجذر التربيعي للجهتين من المعادلة:

$x – 6 = \pm \sqrt{25}$

نحسب الجذر التربيعي للعدد 25، الذي يكون 5. لذا:

$x – 6 = \pm 5$

الآن، نقوم بفصل الحالات للحصول على القيم الممكنة لـ$x$. في الحالة الأولى، نأخذ القيمة الموجبة:

$x – 6 = 5$

نجمع 6 من الجهتين:

$x = 11$

في الحالة الثانية، نأخذ القيمة السالبة:

$x – 6 = -5$

نجمع 6 من الجهتين:

$x = 1$

لذا، لدينا حلايا للمعادلة هما $x = 11$ و $x = 1$. الآن، نحسب مجموع هذين الحلين:

$11 + 1 = 12$

إذاً، مجموع جميع الحلول للمعادلة هو 12.

بالطبع، دعونا نقوم بتفصيل حل المسألة وذلك باستخدام الخطوات الرياضية المناسبة والقوانين المتعلقة. المعادلة التي يجب علينا حلها هي $(x-6)^2=25$.

الخطوة 1: استخدام خاصية الجذر

نبدأ بفحص المعادلة باستخدام خاصية الجذر للتخلص من الأس الثاني. نأخذ الجذر التربيعي للجهتين من المعادلة:

$x – 6 = \pm \sqrt{25}$

هنا، نستخدم قاعدة أن جذر العدد $a^2$ يكون $|a|$. في هذه الحالة، $\sqrt{25} = 5$، لذا:

$x – 6 = \pm 5$

الخطوة 2: فصل الحالات

نقوم بفصل الحالات للحصول على القيم الممكنة لـ$x$. في الحالة الأولى، نأخذ القيمة الموجبة:

$x – 6 = 5$

نجمع 6 من الجهتين:

$x = 11$

في الحالة الثانية، نأخذ القيمة السالبة:

$x – 6 = -5$

نجمع 6 من الجهتين:

$x = 1$

الخطوة 3: التحقق من الحلول

نتأكد من أن القيم $x = 11$ و $x = 1$ هما حلول للمعادلة الأصلية. نستبدل قيم $x$ في المعادلة:

للقيمة $x = 11$:

$(11 – 6)^2 = 25$

$5^2 = 25$

التحقق صحيح.

للقيمة $x = 1$:

$(1 – 6)^2 = 25$

$(-5)^2 = 25$

التحقق صحيح.

الخطوة 4: حساب المجموع

نحسب مجموع الحلول:

$11 + 1 = 12$

القوانين المستخدمة:

1. خاصية الجذر: استخدمناها للتخلص من الأس الثاني في المعادلة.
2. فصل الحالات: قمنا بفصل الحالات للحصول على جميع القيم الممكنة لـ$x$.
3. التحقق من الحلول: قمنا بتحقق من أن القيم المحسوبة هي حلول فعلية للمعادلة.
4. الجمع: استخدمنا عملية الجمع للحصول على مجموع الحلول.