حلا لمعادلة الأسس بالقوانين الجبرية (مسألة رياضيات)

المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي: $5^{x + 4} = 125^x$.

لحل هذه المعادلة، يمكننا محاولة تمثيل القوى بنفس الأساس لتسهيل الحساب. في هذه الحالة، يمكننا تعبير 125 كقاعدة بنفس أساس 5، حيث أن 125 تساوي $5^3$.

إذاً، يمكننا كتابة المعادلة بصورة مبسطة كالتالي: $5^{x + 4} = (5^3)^x$.

الآن، يُلاحظ أن لدينا نفس الأساس على الجانبين، وبالتالي يمكننا معادلة الأسس، حيث يكون الأس العلوي هو $x + 4$ والأس السفلي هو 3 (لأن $5^3 = 125$).

تصبح المعادلة كالتالي: $x + 4 = 3x$.

نقلل $x$ من الطرفين للحصول على: $4 = 2x$.

ثم نقسم على 2 للحصول على قيمة $x$ النهائية، وتكون قيمة $x = 2$.

إذاً، القيمة التي تحقق المعادلة هي $x = 2$.

لحل معادلة $5^{x + 4} = 125^x$، سنستخدم بعض القوانين الجبرية والخواص الحسابية. دعونا نفحص الخطوات بتفصيل أكبر:

1. تمثيل 125 بنفس أساس 5:
   نعلم أن $125 = 5^3$، لذا يمكننا تمثيل $125$ بنفس أساس 5. تحول المعادلة إلى:
   $5^{x + 4} = (5^3)^x.$

2. تبسيط الأسس:
   بسبب أن لدينا نفس الأساس على الجانبين، يمكننا مبسطة المعادلة إلى:
   $5^{x + 4} = 5^{3x}.$

3. معادلة الأسس:
   الآن، نستخدم قاعدة أسس القوة للمعادلة، حيث إذا كانت $a^{m + n} = a^m \cdot a^n$، نحصل على:
   $x + 4 = 3x.$

4. جمع المتغيرات:
   نقوم بجمع $x$ إلى الجهتين للحصول على:
   $4 = 2x.$

5. حل لقيمة $x$:
   نقسم على 2 للحصول على قيمة $x$ النهائية:
   $x = 2.$

باختصار، قمنا باستخدام قاعدة تمثيل الأساس وقاعدة الأسس للقوة في عملية الحل. الخواص المستخدمة هي:

• تمثيل الأساس:
  $a^{m \cdot n} = (a^m)^n.$

• معادلة الأسس:
  $a^{m + n} = a^m \cdot a^n.$

• جمع المتغيرات في معادلة الأسس:
  $a^{m + n} = a^m \cdot a^n \implies x + 4 = 3x.$

• حل للمتغير:
  $ax = b \implies x = \frac{b}{a}.$

باستخدام هذه القوانين، وبخطوات دقيقة، تم الوصول إلى القيمة $x = 2$ كحلاً للمعادلة المعطاة.