حلا لمسألة تنظيف المنزل (مسألة رياضيات)

بينما يعمل بروس وآن معًا، يمكنهما تنظيف منزلهم في 4 ساعات بمعدلاتهم الثابتة. وإذا تم تضاعف سرعة آن، يستطيعون تنظيف المنزل في 3 ساعات بمعدلاتهم الحالية. ما هو الوقت الذي تحتاجه آن حاليًا لتنظيف المنزل بمفردها؟

لنقم بحساب معدلات بروس وآن بشكل فردي. إذا كانت x هي معدل تنظيف بروس، وكانت y هي معدل تنظيف آن، فإن معادلة العمل المشترك تكون:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

عندما يتم تضاعف سرعة آن، يصبح المعادلة:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{3}$

الآن سنقوم بحل هذه المعادلتين للعثور على قيم x و y. بعد الحسابات، نجد أن $x = \frac{1}{5}$ و $y = \frac{1}{20}$.

المطلوب الآن هو حساب الوقت الذي تحتاجه آن لتنظيف المنزل بمفردها. يمكننا استخدام معدل آن الحالي، وهو $y = \frac{1}{20}$ للحصول على الزمن بواسطة المعادلة:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20$

إذاً، يحتاج آن حاليًا لـ 20 ساعة لتنظيف المنزل بمفردها.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم “معدل العمل” ونعتمد على قوانين العمل المشترك. لنرمز إلى معدل تنظيف بروس بـ $x$ ومعدل تنظيف آن بـ $y$، حيث يتم قياس المعدل بالوحدة “منزل في الساعة”. نستخدم القوانين التالية:

1. قانون العمل المشترك:
   $\text{عمل المشترك} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

2. تحسين سرعة آن:
   $\text{عمل المشترك بعد تحسين سرعة آن} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2y}$

الخطوات:

1. نكتب المعادلة الأولى بناءً على معلومة أنهما يستغرقان 4 ساعات لتنظيف المنزل معًا:
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

2. نكتب المعادلة الثانية بناءً على معلومة أنهما يستغرقان 3 ساعات لتنظيف المنزل بعد تحسين سرعة آن:
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{3}$

3. نقوم بحل المعادلتين للعثور على قيم $x$ و $y$.

   بعد الحسابات، نحصل على $x = \frac{1}{5}$ و $y = \frac{1}{20}$.

4. نحسب الزمن الذي تحتاجه آن لتنظيف المنزل بمفردها باستخدام معدلها الحالي:
   $\text{زمن آن} = \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20$

إذاً، يستغرق آن حاليًا 20 ساعة لتنظيف المنزل بمفردها.

يتمثل الحل في استخدام القوانين الرياضية للعمل المشترك وتعديل سرعة آن بالتحسين المطلوب، ومن ثم حساب القيم النهائية للمعدلات واستخدامها لحساب الزمن اللازم.