حلا لمسألة الكسور الرياضية

تتساوى كسر معين مع كسر 2/5. إذا زاد البسط في الكسر بمقدار 4 وضاعف المقام، يكون الكسر الجديد مكافئًا لكسر 1/4. ما هو الفارق بين البسط والمقام في الكسر الأصلي؟

لنعبر عن الكسر الأصلي بطريقة علمية، فلنفترض أن الكسر هو $\frac{a}{b}$ حيث $a$ هو البسط و $b$ هو المقام.

إذاً:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

عند زيادة البسط بمقدار 4 وضاعف المقام:

الكسر الجديد يصبح:

$\frac{a + 4}{2b}$

وهو مكافئ لكسر $\frac{1}{4}$.

نقوم بوضع المعادلتين معًا:

$\frac{a + 4}{2b} = \frac{1}{4}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في 4 للتخلص من المقام في الكسر على الجهة اليمنى:

$4(a + 4) = 2b$

نفترض أن $4(a + 4)$ تكون مكافئة لـ $k$ حتى نقلل الصيغة:

$k = 2b$

نحصل على:

$4a + 16 = k$

الآن نعود إلى المعادلة الأصلية:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

نضرب الطرفين في 5:

$5a = 2b$

وباستخدام القيمة التي حصلنا عليها:

$5a = k$

نوازن المعادلتين:

$4a + 16 = 5a$

نطرح $4a$ من الجهتين:

$16 = a$

إذاً، البسط $a$ هو 16.

الآن نستخدم قيمة $a$ لحساب المقام $b$:

$5a = 2b$

$5 \times 16 = 2b$

$80 = 2b$

$b = 40$

إذاً، الكسر الأصلي هو $\frac{16}{40}$، والفارق بين البسط والمقام هو:

$40 – 16 = 24$

إذاً، الفارق بين البسط والمقام في الكسر الأصلي هو 24.

بالطبع، دعونا نستكمل حلاً أكثر تفصيلاً للمسألة، مستخدمين بعض القوانين الرياضية الأساسية.

لنبدأ مع تمثيل الكسر الأصلي بـ $\frac{a}{b}$، حيث $a$ هو البسط و $b$ هو المقام. ونعلم أن:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

الخطوة التالية هي التفكير في كيف يمكننا تمثيل الكسر الجديد بعد زيادة البسط وضعف المقام. يمكننا كتابته على النحو التالي:

$\frac{a + 4}{2b} = \frac{1}{4}$

وهنا نستخدم قاعدة تكافؤ الكسور، حيث إذا كانت $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، فإن $\frac{a + x}{b + y} = \frac{c + x}{d + y}$.

لحساب القيمة الجديدة للكسر، نقوم بضرب الطرفين في المقام الجديد (2b) للتخلص من المقام في الكسر على الجهة اليمنى:

$4(a + 4) = 2b$

وهنا نستخدم قاعدة ضرب الكسور الناتجة عن تكافؤ الكسور.

المرحلة التالية هي حل المعادلة. نقوم بتجميع المصطلحات المماثلة وحساب القيمة المطلوبة. في هذه الحالة، يمكننا تعويض $2b$ بـ $4(a + 4)$ في المعادلة الأصلية:

$4a + 16 = 2b$

هنا نستخدم مبدأ توازن المعادلات للتحقق من القيمة الجديدة.

الخطوة الأخيرة تشمل حل المعادلة الثانية للحصول على قيمة $a$، ثم استخدامها لحساب قيمة $b$. بمجرد الحصول على القيم النهائية، يمكننا حساب الفارق بين البسط والمقام في الكسر الأصلي، الذي يكون في هذه الحالة 24.

لتلخيص، قوانين الكسور وضرب الكسور وتوازن المعادلات هي القوانين الرئيسية التي تم استخدامها في حل هذه المسألة الرياضية.