حلا لمسألة القسم الرياضي (مسألة رياضيات)

إذا كان المضاعف الثنائي $x^2 + kx – 3$ قابلًا للقسمة على الضريبة الخطية $x – 1$، فما هو قيمة المتغير $k$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام خاصية القسمة الصحيحة للمضاعفات. إذا كان المضاعف $x^2 + kx – 3$ قابلًا للقسمة على $x – 1$، فذلك يعني أن الباقي عند القسمة يكون صفرًا. يمكننا استخدام ذلك لتحديد قيمة $k$.

لنقم بالقسمة:

$\frac{x^2 + kx – 3}{x – 1}$

عند قسمة $x^2$ على $x$، نحصل على $x$. ثم نضرب $(x – 1)$ في $x$ للحصول على $x^2 – x$، ونقوم بطرحه من $x^2 + kx – 3$ للحصول على باقي $kx – 3 + x$، ونستمر في هذه العملية حتى نحصل على الباقي.

$x + (k + 1)$

لكي يكون الباقي صفرًا، يجب أن تكون $k + 1$ يساوي صفر، لذا:

$k + 1 = 0$

من هنا، نجد أن $k = -1$، وهذا هو القيمة التي تجعل المضاعف قابلاً للقسمة على $x – 1$.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفصيل والتوضيح، مع استعراض القوانين والطرق المستخدمة في الحل.

المسألة:
إذا كان $x^2 + kx – 3$ قابلًا للقسمة على $x – 1$، فما هو قيمة المتغير $k$؟

الحل:
نستخدم خاصية القسمة الصحيحة للمضاعفات، حيث إذا كان المضاعف $x^2 + kx – 3$ قابلًا للقسمة على $x – 1$، فإن الباقي عند القسمة يكون صفرًا.

القسمة تبدأ كما يلي:
$\frac{x^2 + kx – 3}{x – 1}$

1. قسم $x^2$ على $x$ للحصول على $x$.
2. ضرب $(x – 1)$ في $x$ للحصول على $x^2 – x$.
3. طرح $(x^2 – x)$ من $x^2 + kx – 3$ للحصول على باقي $kx – 3 + x$.
4. نكرر العملية حتى نحصل على الباقي.

يمكن تلخيص العملية التفصيلية كما يلي:
$x + (k + 1)$

لكي يكون الباقي صفرًا، يجب أن يكون معامل $k + 1$ يساوي صفر:
$k + 1 = 0$

من هنا، نجد أن $k = -1$، وهذا هو القيمة التي تجعل المضاعف قابلاً للقسمة على $x – 1$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة القسمة الصحيحة: إذا كانت $a$ و $b$ و $c$ أعداد صحيحة وكان $b \neq 0$، فإنه إذا كان $a$ قابلًا للقسمة على $b$، فإن الناتج هو عدد صحيح، والباقي هو $c$.

2. قاعدة طرح المضاعفات: عند قسم مضاعف على آخر، يمكننا طرح المضاعف المقابل للحصول على باقي صفر.

3. حل المعادلات الخطية: في هذه الحالة، استخدمنا معلومة أن الباقي عند قسم مضاعف على آخر هو $k + 1$، وبما أنه يجب أن يكون الباقي صفرًا، فقمنا بحل المعادلة $k + 1 = 0$ للعثور على قيمة $k$.