حلا لمسألة القسمة على 24 (مسألة رياضيات)

عند قسمة ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية على $24$، تكون باقيات القسمة هي $X$، $4$، و$12$ على التوالي.

عند قسم مجموع الأعداد الثلاثة على $24$، ما هي الباقية؟

إذا كانت الإجابة على السؤال السابق هي $2$، فما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:
لنقم بتمثيل الأعداد الثلاثة بـ $a$، $b$، و$c$، حيث $a$ يعطي باقي $X$ عند القسمة على $24$، و$b$ يعطي باقي $4$، و$c$ يعطي باقي $12$.

بالتالي، يمكننا كتابة المعادلات التالية:
$a \equiv X \pmod{24}$
$b \equiv 4 \pmod{24}$
$c \equiv 12 \pmod{24}$

نريد الآن معرفة باقي مجموع هذه الأعداد عند القسمة على $24$، لذا نقوم بجمعها:
$a + b + c \equiv (X + 4 + 12) \equiv (X + 16) \pmod{24}$

السؤال الثاني يطلب منا معرفة الباقية عند قسم هذا الجمع على $24$، وهي الجملة التي يمكننا تمثيلها بالشكل التالي:
$a + b + c \equiv (X + 16) \pmod{24}$

ومن المعروف أن هذا الباقي هو $2$، لذا:
$X + 16 \equiv 2 \pmod{24}$

لحساب قيمة $X$، نقوم بطرح $16$ من الجانبين ونحسب الباقي:
$X \equiv 2 – 16 \equiv -14 \equiv 10 \pmod{24}$

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي $10$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر، ولنستخدم القوانين الرياضية والخوارزميات المستخدمة في الحل.

الأعداد الثلاثة التي نقوم بتمثيلها بـ $a$، $b$، و$c$ تُعبر عن الأعداد التي يتم قسمها على $24$. باستخدام قانون باقي القسمة، نقوم بتمثيل العلاقة بين هذه الأعداد والباقي على التوالي:

$a \equiv X \pmod{24}$
$b \equiv 4 \pmod{24}$
$c \equiv 12 \pmod{24}$

الآن، نريد حساب الباقي عند قسم مجموع هذه الأعداد على $24$. لفعل ذلك، نستخدم قانون جمع الباقيات:

$a + b + c \equiv (X + 4 + 12) \equiv (X + 16) \pmod{24}$

السؤال الثاني يطلب منا حساب الباقي عند قسم هذا المجموع على $24$. لدينا:

$a + b + c \equiv (X + 16) \pmod{24}$

نعلم أن هذا الباقي هو $2$. لذا:

$X + 16 \equiv 2 \pmod{24}$

لحساب القيمة المحددة لـ $X$، نقوم بطرح $16$ من الجانبين ونستخدم قانون الباقي:

$X \equiv 2 – 16 \equiv -14 \equiv 10 \pmod{24}$

هذا يعني أن قيمة المتغير المجهول $X$ هي $10$.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون باقي القسمة: ينص على أن عند قسم عدد على عدد آخر، يكون باقي القسمة هو الفارق بينهما.
2. قانون جمع الباقيات: ينص على أن عند جمع عدة أعداد وحساب الباقي عند قسم المجموع على عدد، يمكننا حساب الباقي لكل عدد ثم جمعها.
3. قانون الباقي في المعادلات: يستخدم لحساب الباقي عند قسم معادلة على عدد محدد.