حلا لمسألة القسمة الرياضية بالأعداد (مسألة رياضيات)

عندما يتم قسم العدد $w$ على 13، يكون الباقي 0. وإذا كان $w$ أكبر بمقدار 3 من قيمته الفعلية وتم قسمه على 11، يكون الباقي أيضًا 0. ما هي قيمة $w$؟

الحل:
لنجد قيمة $w$، دعنا نمثل العدد المطلوب بواسطة $w$. عندما نقسم $w$ على 13، يكون الباقي 0، مما يعني أنه يمكننا التعبير عن $w$ بصورة عامة على النحو التالي:

$w = 13a$

حيث $a$ هو أي عدد صحيح. الآن، نعلم أن عندما نقوم بإضافة 3 إلى $w$ ونقسم الناتج على 11، يكون الباقي أيضًا 0. لذا:

$(w + 3) \mod 11 = 0$

نستخدم القيمة المعرفة لـ $w$ (أي $w = 13a$) ونحل المعادلة:

$(13a + 3) \mod 11 = 0$

نبسط العبارة ونحل المعادلة للعثور على قيمة $a$. بعد ذلك، نستخدم قيمة $a$ لحساب قيمة $w$.

بمجرد حل المعادلة، سنكون قد حصلنا على قيمة $a$، ومن ثم يمكننا حساب قيمة $w$ باستخدام العلاقة $w = 13a$.

لنقم بحل المسألة بشكل مفصل باستخدام القوانين الرياضية المناسبة. دعنا نبدأ:

المعطيات:

1. $w$ عدد صحيح.
2. $w \mod 13 = 0$ (الباقي عند قسم $w$ على 13 هو صفر).
3. $(w + 3) \mod 11 = 0$ (الباقي عند قسم $w + 3$ على 11 هو صفر).

لنستخدم هذه المعلومات لحل المسألة:

أولاً، لدينا $w \mod 13 = 0$، مما يعني أنه يمكننا كتابة $w$ على النحو التالي:

$w = 13a$

حيث $a$ هو أي عدد صحيح.

ثم، نستخدم المعلومة الثانية $(w + 3) \mod 11 = 0$. لنحل هذه المعادلة:

$(13a + 3) \mod 11 = 0$

الآن، نبدأ بحساب القيم. نقوم بتبسيط المعادلة:

$13a + 3 \equiv 0 \pmod{11}$

نطرح 3 من الجانبين:

$13a \equiv -3 \pmod{11}$

نستخدم القاعدة التي تقول إذا كانت $ax \equiv ay \pmod{m}$ وكان $a$ ليس مضاعفًا للعدد $m$، فإن $x \equiv y \pmod{m}$. في حالتنا، $13$ و $11$ ليسا أعدادًا تفرضان قاعدة التحليل.

لحساب العدد الذي يحقق ذلك، نضرب كلا الجانبين في العدد الذي يجعل الضرب يساوي وحدة بالنسبة للموديولو $11$. في هذه الحالة، يكون العدد $8$ هو العدد الذي يجعل الضرب يساوي وحدة مع $13$ بالنسبة للموديولو $11$، أي:

$a \equiv 8 \pmod{11}$

الآن، بمجرد أن لدينا قيمة لـ $a$، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $w$ باستخدام العلاقة $w = 13a$.

إذاً، $a = 8$، ونقوم بحساب:

$w = 13 \times 8 = 104$

لذا، القيمة المطلوبة لـ $w$ هي $104$.