حلا لمسألة العمل المشترك (مسألة رياضيات)

المسألة:
إذا كان بي يمكنه إنجاز عمل في نفس الوقت الذي يمكن لكيو وآر إنجازه معًا. وإذا قامت بي وكيو بالعمل معًا، يمكن إتمام العمل في 10 أيام. أما آر فوحده يحتاج إلى 35 يومًا لإكمال نفس العمل. إذاً، كم يومًا يحتاج كيو وحدها لإنجاز العمل؟

الحل:
لنحسب قدرة كل عامل على العمل بناءً على معلومات المسألة.

لنفترض أن قدرة بي تكون $x$ وقدرة كيو تكون $y$.

من المعطيات:

1. $P$ يمكنه إنجاز العمل في نفس الوقت الذي يمكن فيه $Q$ و $R$ إنجازه معًا، لذا:
   $P = Q + R$

2. إذا عملت $P$ و $Q$ معًا، يمكن إكمال العمل في 10 أيام، لذا:
   $\frac{1}{P+Q} = \frac{1}{10}$

3. $R$ وحده يحتاج 35 يومًا لإكمال العمل، لذا:
   $\frac{1}{R} = \frac{1}{35}$

الآن لنحل هذه المعادلات:
من المعادلة الأولى:
$P = Q + R$
نعوض قيمة $R$ بالتعويض في المعادلة الثانية:
$\frac{1}{P+Q} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{P+(P-Q)} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{2P-Q} = \frac{1}{10}$
$2P – Q = 10$

الآن نستخدم المعلومات من المعادلة الثالثة:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{35}$
$R = 35$

نستخدم قيمة $R$ في المعادلة الأولى:
$P = Q + 35$

ونستخدم هاتين المعادلتين لحل النظام. إذاً، يمكننا إيجاد قيم $P$ و $Q$ ومن ثم حساب قدرة $Q$ بمفردها.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل باستخدام القوانين والمعادلات المستخدمة في الرياضيات.

للتبسيط، لنستخدم الرموز التالية:
$P$ : قدرة العامل $p$
$Q$ : قدرة العامل $q$
$R$ : قدرة العامل $r$

1. المعطى: $P = Q + R$

2. إذاً، نستخدم معلومة العمل المشترك:
   $\frac{1}{P+Q} = \frac{1}{10}$
   القانون المستخدم: قانون العمل المشترك، حيث يعبر عن كمية العمل بالعكس مع الزمن.

نقوم بحساب المعكوس:
$P+Q = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$
$2P = 10$
$P = 5$

ثم نستخدم القانون الأول للحساب:
$Q = P – R$
$Q = 5 – R$

3. القانون الثاني: $\frac{1}{R} = \frac{1}{35}$
   نقوم بحساب المعكوس:
   $R = 35$

4. نستخدم قيمة $R$ في القانون الأول للحساب:
   $Q = 5 – 35$
   $Q = -30$

5. الآن نحتاج إلى حساب كمية العمل التي يقوم بها $Q$ بمفرده.
   $\frac{1}{Q} = \frac{1}{5} – \frac{1}{35}$
   نقوم بحساب المعكوس:
   $Q = \frac{35}{6}$

إذاً، قد حللنا المسألة باستخدام قوانين العمل المشترك وقوانين التناسب العكسي في الرياضيات.