حلا لمسألة الطلاب الذين يحبون البيتزا والبرغر

عدد الطلاب الإجمالي 200، من بينهم 125 يحبون البيتزا، و115 يحبون البرغر، فكم عدد الذين يحبون كليهما؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مبدأ الاتحاد والتقاطع في النواتج. لنعبر عن عدد الذين يحبون كليهما، سنستخدم الرموز التالية:

• $P(A)$: عدد الطلاب الذين يحبون البيتزا.
• $P(B)$: عدد الطلاب الذين يحبون البرغر.
• $P(A \cap B)$: عدد الطلاب الذين يحبون كليهما.

المعادلة التي تمثل العلاقة بين هذه الكميات هي:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

حيث $P(A \cup B)$ هو عدد الطلاب الذين يحبون البيتزا أو البرغر أو كليهما. ولكن نحن نعلم أن $P(A \cup B)$ هو إجمالي عدد الطلاب الذين يحبون البيتزا أو البرغر، وهو يساوي 200 طالب. لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$200 = 125 + 115 – P(A \cap B)$

الآن نحل للعثور على قيمة $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = 125 + 115 – 200$

$P(A \cap B) = 240 – 200$

$P(A \cap B) = 40$

إذاً، هناك 40 طالبًا يحبون كليهما.

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام مفهومات نظرية المجموعات والقوانين المتعلقة بالاتحاد والتقاطع والفرق بين الأعداد. نبدأ بتعريف بعض المصطلحات:

• $P(A)$: احتمالية حدوث حدث A.
• $P(B)$: احتمالية حدوث حدث B.
• $P(A \cap B)$: احتمالية حدوث حدث A وحدث B معًا (التقاطع).
• $P(A \cup B)$: احتمالية حدوث حدث A أو حدث B أو كليهما (الاتحاد).

القانون المستخدم في حل هذه المسألة هو قانون الاتحاد والتقاطع، ويمثل بالمعادلة التالية:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

وفي هذه المسألة، نعلم أن عدد الطلاب الإجمالي 200، وعدد الطلاب الذين يحبون البيتزا 125، وعدد الطلاب الذين يحبون البرغر 115.

نستخدم المعادلة للعثور على عدد الطلاب الذين يحبون كليهما:

$200 = 125 + 115 – P(A \cap B)$

نقوم بحساب قيمة $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = 125 + 115 – 200$

$P(A \cap B) = 240 – 200$

$P(A \cap B) = 40$

إذاً، عدد الطلاب الذين يحبون كليهما هو 40.

القوانين المستخدمة هي:

1. قانون الاتحاد والتقاطع: يستخدم لحساب احتمالية حدوث حدث A أو B أو كليهما.
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

2. مفهوم التقاطع: يعبر عن الحدث الذي يحدث عندما يحدث حدثان معًا.

تمثل هذه القوانين الأساسية في نظرية المجموعات الرياضية وتوفر أساسًا قويًا لفهم وحل مسائل الاحتمالات.