حلا لمسألة الدالة الرياضية (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ تعرف بالتالي: إذا كانت $f(1)=5$ و $f(2)=8$ و $f(x)=ax+bx+2$، فما هو قيمة $f(3)$؟

الحلا يكمن في استخدام القيم المعطاة للدالة لحساب قيمة $a$ و $b$. بدايةً، نستخدم $f(1)$:

$f(1) = a(1) + b(1) + 2 = 5$

هذا يعطينا المعادلة:

$a + b + 2 = 5$

ثم نستخدم $f(2)$:

$f(2) = a(2) + b(2) + 2 = 8$

وهذا يعطينا المعادلة:

$2a + 2b + 2 = 8$

نحن الآن لدينا نظامين من المعادلات:

$1. \quad a + b + 2 = 5$
$2. \quad 2a + 2b + 2 = 8$

نحل هذا النظام للعثور على قيم $a$ و $b$. يمكننا ضرب المعادلة الأولى في 2 وطرحها من المعادلة الثانية للتخلص من $b$:

$2(a + b + 2) – (2a + 2b + 2) = 2 \times 5 – 8$

$2a + 2b + 4 – 2a – 2b – 2 = 10 – 8$

$2 = 2$

لكن هذا لا يعطينا معلومات جديدة. يبدو أن هناك خطأ في المعادلات المعطاة، فلنفترض أن $f(x)$ الصحيحة هي $f(x) = ax + b$.

إذاً، نستخدم $f(1)$ مرة أخرى:

$a(1) + b = 5$

و $f(2)$:

$a(2) + b = 8$

الآن لدينا نظامًا من المعادلات:

$1. \quad a + b = 5$
$2. \quad 2a + b = 8$

نحل هذا النظام، ونجد أن $a=3$ و $b=2$.

الآن نستخدم هذه القيم في $f(3)$:

$f(3) = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11$

إذاً، قيمة $f(3)$ هي 11.

لحل هذه المسألة، نبدأ بتحديد القيم المطلوبة للدالة $f(x)$ باستخدام القيم المعطاة $f(1)=5$ و $f(2)=8$. الدالة متكونة من متغيرين $a$ و $b$، ويمكن تمثيلها على النحو التالي:

$f(x) = ax + bx + 2$

نستخدم القيم المعطاة لحساب قيم $a$ و $b$. لذلك، نبدأ بتحديد المعادلات باستخدام $f(1)$ و $f(2)$:

1. $f(1) = a(1) + b(1) + 2 = 5$

2. $f(2) = a(2) + b(2) + 2 = 8$

نحل هذا النظام للعثور على قيم $a$ و $b$. لذا، نقوم بحساب $f(1)$ و $f(2)$:

1. $a + b + 2 = 5$

2. $2a + 2b + 2 = 8$

ثم نقوم بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية للتخلص من $b$:

$2(a + b + 2) – (2a + 2b + 2) = 2 \times 5 – 8$

$2a + 2b + 4 – 2a – 2b – 2 = 10 – 8$

$2 = 2$

لكن هذا لا يعطينا إجابة مفيدة. يظهر أن هناك خطأ في المعادلات المعطاة، ربما في صياغة الدالة. لذا، لنفترض أن الدالة الصحيحة هي $f(x) = ax + b$.

نستخدم القيم المعطاة مرة أخرى لحساب $a$ و $b$:

1. $a + b = 5$

2. $2a + b = 8$

نحل هذا النظام، على سبيل المثال، باستخدام طريقة الطرح أو الاستبدال. لنفترض أننا نستخدم طريقة الطرح:

طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية:

$(2a + b) – (a + b) = 8 – 5$

$a = 3$

ثم نستخدم قيمة $a$ في أي من المعادلتين لحساب $b$. في هذا الحال:

$3 + b = 5 \implies b = 2$

لذا، قيم $a$ و $b$ هي على التوالي 3 و 2.

الآن نستخدم هذه القيم في حساب $f(3)$ باستخدام الدالة الصحيحة $f(x) = ax + b$:

$f(3) = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11$

لذا، قيمة $f(3)$ هي 11.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:

1. تعريف الدالة: تعريف الدالة $f(x)$ وتمثيلها بمعادلة رياضية.
2. القيم المعطاة: استخدام القيم المعطاة لتحديد قيم المتغيرات في المعادلة.
3. حل النظام: استخدام المعادلات المعطاة لحساب القيم المجهولة (في هذه الحالة، $a$ و $b$).
4. طرق الحل: استخدام أساليب الحساب الجبري (مثل الجمع والطرح) لحل النظام.
5. تحقيق الانسجام: التحقق من أن القيم المستخدمة تحقق المعادلات الأصلية.