حلا لمسألة الباقي باستخدام مبرهنة الصينيين (مسألة رياضيات)

عند قسمة العدد الصحيّ الإيجابي $n$ على 7، يكون باقي القسمة هو 1، وعند قسمته على 11، يكون باقي القسمة هو 5. السؤال يطلب حساب أصغر عدد صحيح إيجابي $k$ بحيث يكون مجموعه مع $n$ هو مضاعف للعدد 77.

لحل هذه المسألة، دعونا نبدأ بفحص أقسام $n$ على 7 و 11. الشرط الأول يفيد أن:
$n \equiv 1 \pmod{7}$

الشرط الثاني يعني أن:
$n \equiv 5 \pmod{11}$

لحل هذا النظام من المعادلات التحفظية، يمكننا استخدام مبرهنة الصينيين. البحث عن حلاً لهذا النظام يؤدي إلى $n \equiv 16 \pmod{77}$. وبما أننا نبحث عن العدد $k$ بحيث يكون $n + k$ مضاعفًا لـ 77، يمكننا تعبير ذلك بالمعادلة التالية:
$n + k \equiv 0 \pmod{77}$

إذاً:
$16 + k \equiv 0 \pmod{77}$

لحساب أصغر قيمة إيجابية لـ $k$، يمكننا استخدام الفارق بين 16 وأقرب ضعف لـ 77. ضعف 77 هو 154، والفارق هو $154 – 16 = 138$، لذا:
$k = 138$

إذاً، العدد $k$ الأصغر الذي يجعل $n + k$ مضاعفًا لـ 77 هو 138.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبرهنة الصينيين والتي تعتمد على قوانين الباقي (الفارق) وتطبيقها على نظام من المعادلات التحفظية. الهدف هو العثور على القيمة المشتركة للمتغير $n$ في النظام.

الشروط المعطاة هي:
$n \equiv 1 \pmod{7}$
$n \equiv 5 \pmod{11}$

لحساب القيمة المشتركة لـ $n$, يمكننا استخدام القوانين التالية:

1. قانون باقي القسمة:
   إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$ وكذلك $a \equiv b \pmod{n}$، فإن $a \equiv b \pmod{\text{LCM}(m, n)}$.

   في هذه الحالة:
   $n \equiv 1 \pmod{7}$
   $n \equiv 5 \pmod{11}$
   يمكننا استخدام LCM(7, 11) للعثور على نظام يحقق الشروط.

2. قانون الفارق:
   إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $a + k \equiv b + k \pmod{m}$.

   هذا يعني أنه إذا كان $n$ يحقق الشروط أعلاه، فإن أي عدد يضاف إليه سيظل يحقق نفس الشروط.

الآن لنطبق هذه القوانين:

1. حساب LCM(7, 11):
   $\text{LCM}(7, 11) = 77$

2. تحقيق الشروط باستخدام مبرهنة الصينيين:
   نقوم بحساب القيمة المشتركة باستخدام LCM(7, 11)، ونجد أن:
   $n \equiv 16 \pmod{77}$

3. حساب القيمة الصحيحة لـ $k$:
   نحتاج إلى أصغر قيمة إيجابية لـ $k$ بحيث يكون $n + k$ مضاعفًا لـ 77. نستخدم الفارق بين 16 وأقرب ضعف لـ 77:
   $k = 138$

إذاً، القوانين المستخدمة هي قوانين الباقي (الفارق) ومبرهنة الصينيين. تمثل هذه القوانين أساسًا لحل مشكلات الباقي والقسمة في الرياضيات.