حلا لمسألة الأعداد الصحيحة

فلنقم بإعادة صياغة المسألة بطريقة مفصلة وتوضيحية قبل أن نقدم الحل:

لنفترض أن لدينا عددين صحيحين موجبين، والفارق بينهما هو 4، ومجموع عكسيهما يساوي 2. الآن، دعونا نرمز للعددين بـ $x$ و $y$ على التوالي. يمكن كتابة المعلومات المعطاة في المسألة كمعادلتين:

1. $x$ و $y$ عددان صحيحان موجبان ويختلفان بمقدار 4:
   $x – y = 4$

2. مجموع عكسي العددين يساوي 2:
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$

الآن، سنقوم بحل هذه المعادلات للعثور على قيم $x$ و $y$. للقيام بذلك، يمكننا استخدام معادلة الفارق بين العددين للتعبير عن أحدهما بوظيفة الآخر، ثم استخدام هذا التعبير في المعادلة الثانية. لنقم بذلك:

من المعادلة الأولى:
$x = y + 4$

الآن، سنقوم بتعويض هذا التعبير في المعادلة الثانية:
$\frac{1}{y + 4} + \frac{1}{y} = 2$

نقوم بضرب الطرفين في $y(y + 4)$ لتخلصنا من المقامات:
$y(y + 4) + y(y + 4) = 2y(y + 4)$

نقوم بتوسيع وتبسيط الجهتين:
$y^2 + 4y + y^2 + 4y = 2y^2 + 8y$

نجمع الأعضاء المتشابهة ونقلب الطرفين:
$2y^2 + 8y – y^2 – 4y – y^2 – 4y = 0$

نكتب المعادلة بترتيبها:
$0 = y^2 + 4y – 2y^2 – 8y$

نجمع المتشابه من الأعضاء:
$0 = -y^2 – 4y$

نعمل على تسهيل الحساب:
$0 = y(y + 4)$

إذاً، لدينا حل واحد هو $y = 0$ أو $y + 4 = 0$. ولكن نظرًا لأن $y$ يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا، فإن القيمة الوحيدة المقبولة هي $y = 0$.

الآن، سنستخدم قيمة $y$ لحساب قيمة $x$ باستخدام التعبير السابق:
$x = y + 4$
$x = 0 + 4$
$x = 4$

إذاً، الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحقق الشروط المعطاة هي $x = 4$ و $y = 0$، أو بشكل آخر، $x = 0$ و $y = 4$.

بالتأكيد، دعونا نوسع على الحل بمزيد من التفاصيل ونذكر القوانين التي تم استخدامها.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً:

المسألة تتحدث عن عددين صحيحين موجبين، لنقم بتعريف هذين العددين بـ $x$ و $y$ على التوالي. ووفقًا للمعلومات المعطاة:

1. العددين يختلفان بمقدار 4:
   $x – y = 4$

2. مجموع عكسي العددين يساوي 2:
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$

لنبدأ بحل المعادلة الأولى:
$x – y = 4$

نستخدم قاعدة الجمع والطرح للتلاعب بالمعادلة والوصول إلى تعبير يمثل قيمة واحدة من العددين بالنسبة للآخر. في هذه الحالة، نجد أن:
$x = y + 4$

الآن، نقوم بتعويض هذا التعبير في المعادلة الثانية:
$\frac{1}{y + 4} + \frac{1}{y} = 2$

نستخدم قاعدة ضرب الكسور لتجنب المقامات والتبسيط:

$\frac{y}{y(y + 4)} + \frac{y + 4}{y(y + 4)} = 2$

نجمع الكسور:
$\frac{y + y + 4}{y(y + 4)} = 2$

نبسط المعادلة:
$\frac{2y + 4}{y(y + 4)} = 2$

نقارن المقامات:
$2y + 4 = 2y(y + 4)$

نقوم بتوسيع الجهتين:
$2y + 4 = 2y^2 + 8y$

نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون في شكل معين:
$0 = 2y^2 + 8y – 2y – 4$

نجمع المتشابه من الأعضاء:
$0 = 2y^2 + 6y – 4$

نقوم بتبسيط المعادلة النهائية:
$0 = y^2 + 3y – 2$

نقوم بحل المعادلة باستخدام العوامل:
$0 = (y – 1)(y + 2)$

لذا، القيمتين الممكنتين لـ $y$ هما $y = 1$ أو $y = -2$. ولكن نظرًا لأن $y$ يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا، فإن القيمة الوحيدة المقبولة هي $y = 1$.

الآن، سنقوم بحساب قيمة $x$ باستخدام التعبير الذي حصلنا عليه:
$x = y + 4$
$x = 1 + 4$
$x = 5$

إذاً، الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحقق الشروط المعطاة هي $x = 5$ و $y = 1$، وهي الإجابة على المسألة.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة الجمع والطرح: تم استخدامها للتعامل مع المعادلات والتلاعب بها.

2. ضرب وجمع الكسور: لتجنب المقامات وتسهيل الحسابات.

3. عوامل الكسور والتوسيع: لتبسيط المعادلات والوصول إلى صورة مناسبة للحل.

4. حل المعادلات التربيعية باستخدام العوامل: للوصول إلى قيم ممكنة للمتغيرات.