حلا لمسألة الأعداد الرياضية (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيم $x$ و $y$ تحقق المعادلتين $x+y=4$ و $x^2+y^2=8$، فما هو قيمة $x^3+y^3$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الصيغة التالية لجمع مكعبين:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

في هذه المسألة، نريد حساب $x^3 + y^3$، لذا يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 – xy + y^2)$

الآن، لدينا القيم $x + y = 4$ و $x^2 + y^2 = 8$، لنقم بتعويض هذه القيم في الصيغة:

$x^3 + y^3 = (4)(8 – xy)$

لحساب قيمة $xy$، يمكننا استخدام العلاقة:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

وبالتعويض بالقيم المعطاة:

$4^2 = x^2 + 2xy + 8$

$16 = 8 + 2xy$

$2xy = 8$

$xy = 4$

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب $x^3 + y^3$:

$x^3 + y^3 = (4)(8 – 4)$

$x^3 + y^3 = (4)(4)$

$x^3 + y^3 = 16$

إذا كانت القيم $x$ و $y$ تحقق المعادلات المعطاة، فإن قيمة $x^3 + y^3$ تكون 16.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مجموعة من القوانين الرياضية والصيغ الجبرية. دعونا نقوم بتفصيل الحل:

المسألة تعطي لنا العلاقتين التاليتين:
$x + y = 4$
$x^2 + y^2 = 8$

نريد حساب $x^3 + y^3$، وللقيام بذلك، سنستخدم الصيغة التي تمثل جمع مكعبين:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

نقوم بتعويض قيم $x + y$ و $x^2 + y^2$ في هذه الصيغة:
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 – xy + y^2)$

الآن، نعرف أن $x + y = 4$ و $x^2 + y^2 = 8$، لكن علينا حساب قيمة $xy$ أولاً. لفعل ذلك، نستخدم العلاقة:
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

نعوض بالقيم المعطاة:
$4^2 = x^2 + 2xy + 8$

نحسب:
$16 = 8 + 2xy$

وبترتيب العبارة، نجد:
$2xy = 8$

$xy = 4$

الآن، نعود إلى الصيغة الأصلية ونعوض بالقيم:
$x^3 + y^3 = (4)(8 – 4)$

نقوم بالحساب:
$x^3 + y^3 = (4)(4)$

$x^3 + y^3 = 16$

إذا كانت القيم $x$ و $y$ تحقق المعادلات المعطاة، فإن قيمة $x^3 + y^3$ تكون 16.

القوانين المستخدمة:

1. قانون جمع مكعبين: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$
2. العلاقة بين جمع مربعين وجمع مكعبين: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

تم استخدام هذه القوانين لحل المسألة بشكل متسلسل ودقيق.