حلاً لمعادلة مطلقة مع تفصيل التحليل (مسألة رياضيات)

لحساب قيمة $x$ التي تحقق المعادلة $| x – 3 | + | x + 1 | + | x | = 8$، نبدأ بفحص مختلف الحالات الممكنة للقيم المطلوبة.

عندما $x \geq 0$:

$| x – 3 | + | x + 1 | + | x | = x – 3 + (x + 1) + x = 3x – 2$

عندما $x < 0$:

$| x – 3 | + | x + 1 | + | x | = -(x – 3) + (x + 1) – x = 4$

لدينا الآن اثنتين من الحالات:

1. إذا كان $x \geq 0$ ، يجب أن تكون $3x – 2 = 8$ لأنها الحالة الوحيدة التي تحقق القيمة المطلوبة.

   $3x – 2 = 8$

   $3x = 10$

   $x = \frac{10}{3}$

2. إذا كان $x < 0$ ، يجب أن تكون $4 = 8$ ، وهو أمر مستحيل.

لذا ، القيمة الوحيدة التي تحقق المعادلة هي $x = \frac{10}{3}$.

لحل المعادلة $| x – 3 | + | x + 1 | + | x | = 8$، سنقوم بتحليل القيم المطلوبة للمتغير $x$ بناءً على قوانين قيم المطلق:

1. $|x| = x$ إذا كان $x \geq 0$
2. $|x| = -x$ إذا كان $x < 0$
3. خاصية التكاملية: $|a| + |b| = |a + b|$
4. قاعدة الانقسام: $|ab| = |a| \cdot |b|$

لنبدأ بتحليل المعادلة حسب الحالات المختلفة:

حالة 1: $x \geq 0$

في هذه الحالة، يصبح $|x| = x$.

$| x – 3 | + | x + 1 | + | x | = (x – 3) + (x + 1) + x = 3x – 2$

الآن، نقوم بحل المعادلة:

$3x – 2 = 8$

$3x = 10$

$x = \frac{10}{3}$

حالة 2: $x < 0$

في هذه الحالة، يصبح $|x| = -x$.

$| x – 3 | + | x + 1 | + | x | = -(x – 3) + (x + 1) – x = 4$

لاحظ أن قيمة المعادلة هنا لا تتأثر بقيمة $x$، وبالتالي لا يمكن لهذه الحالة أن تحقق قيمة 8.

الحل النهائي:

القيمة الوحيدة التي تحقق المعادلة هي $x = \frac{10}{3}$ وهي تنتمي إلى الحالة الأولى حيث $x \geq 0$.

في الحل، استخدمنا قوانين المطلق وتحليل حالات القيم المطلوبة لـ $x$ بناءً على قيمة $x$ إما أن تكون أكبر من أو تساوي صفر أو أقل من صفر.