حلاً لمعادلة لوغاريتمية معقدة بثلاث خطوات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

$3 \log_2 s = \log_2 (3s).$

حل المسألة:

لحل هذه المعادلة اللوغاريتمية، سنقوم بتبسيط الجهتين للمعادلة. باستخدام قاعدة اللوغاريتم، يمكننا تحويل الجهة اليمنى للمعادلة إلى معامل مضاعف في اللوغاريتم:

$3 \log_2 s = \log_2 (3s).$

نستخدم القاعدة $a \log_b c = \log_b c^a$ لتبسيط الجهة اليمنى:

$3 \log_2 s = \log_2 (3s) \implies \log_2 s^3 = \log_2 (3s).$

الآن، بما أن اللوغاريتمين في الجهتين هي متساوية، فإن الأرقام التي تظهر تحت اللوغاريتم يجب أن تكون متساوية أيضا. لذا:

$s^3 = 3s.$

نقوم بترتيب المعادلة:

$s^3 – 3s = 0.$

الآن، نقوم بعاملة $s$ من المعادلة:

$s(s^2 – 3) = 0.$

تتفاوت الجذور:

$s = 0, \quad s = \sqrt{3}, \quad s = -\sqrt{3}.$

ومع الأخذ في الاعتبار أن $s$ يجب أن يكون إيجابيًا (حيث يتم استخدام لوغاريتم قاعدة 2)، فإن الجواب الوحيد هو:

$s = \sqrt{3}.$

بالطبع، سأقدم لك تفاصيل أكثر لحل المسألة وسأذكر القوانين التي تم استخدامها في هذا الحل.

المسألة الرياضية هي:

$3 \log_2 s = \log_2 (3s).$

لنقوم بحلها:

الخطوة 1: تبسيط المعادلة

نبدأ بتبسيط الجهتين للمعادلة باستخدام قوانين لوغاريتم الأساس 2. قاعدة لوغاريتم $a \log_b c = \log_b c^a$ تم استخدامها هنا لتبسيط اللوغاريتم في الجهة اليمنى:

$3 \log_2 s = \log_2 (3s) \implies \log_2 s^3 = \log_2 (3s).$

الخطوة 2: إعادة صياغة المعادلة

الآن، بما أن اللوغاريتمين في الجهتين متساوية، فإن الأرقام التي تظهر تحت اللوغاريتم يجب أن تكون متساوية أيضًا:

$s^3 = 3s.$

الخطوة 3: ترتيب المعادلة

نقوم بترتيب المعادلة للوصول إلى معادلة من الدرجة الثالثة:

$s^3 – 3s = 0.$

الخطوة 4: العوامل المشتركة

نقوم بعاملة $s$ من المعادلة للحصول على العوامل المشتركة:

$s(s^2 – 3) = 0.$

الخطوة 5: حساب الجذور

نجد الجذور بحل المعادلة الفرعية $s^2 – 3 = 0$، ونجد:

$s = 0, \quad s = \sqrt{3}, \quad s = -\sqrt{3}.$

الخطوة 6: التحقق من الجواب

بما أننا نستخدم لوغاريتم قاعدة 2، يجب أن يكون $s$ إيجابيًا. لذا، نستبعد $s = -\sqrt{3}$ ونقبل فقط $s = \sqrt{3}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة لوغاريتم $a \log_b c = \log_b c^a$: تم استخدام هذه القاعدة لتبسيط اللوغاريتم في الجهة اليمنى.

2. تساوي اللوغاريتمين: عندما يكون لدينا $\log_a b = \log_a c$، فإنه يمكننا أن نستنتج $b = c$.

3. ترتيب المعادلات اللوغاريتمية: تم استخدام هذه الخطوة لتحويل المعادلة إلى صيغة قابلة للحل.

4. عوامل مشتركة: تم استخدام عملية العاملة للعثور على العوامل المشتركة في المعادلة.