مسائل رياضيات

حلاً لمعادلة رياضية معقدة باستخدام الفرق المكعبي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 14/01/2024
0

إذا كانت $a،$ $b،$ $c،$ $d$ أعداد حقيقية، وكلها ليست متساوية للقيمة $-1$، ولتكن $\omega$ عدد مركب بحيث $\omega^3 = 1$ و $\omega \neq 1.$ إذاً
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=2ω,\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega},
فما قيمة التالي
1a+1+1b+1+1c+1+1d+1+X?\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c +1} + \frac{1}{d + 1} + X?

للبداية، لنعد مساواة الشرط المعطاة:
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=2ω.\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega}.

مواضيع ذات صلة

لتبسيط هذه المساواة، قد نضرب كل جهة في المعامل المشترك بين مقامات الكسور، وهو
(a+ω)(b+ω)(c+ω)(d+ω).(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega).

بعد التبسيط، نحصل على المعادلة التالية:
(b+ω)(c+ω)(d+ω)+(a+ω)(c+ω)(d+ω)+(a+ω)(b+ω)(d+ω)+(a+ω)(b+ω)(c+ω)=2(a+ω)(b+ω)(c+ω)(d+ω).(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(c + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(b + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(b + \omega)(c + \omega) = 2(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega).

الآن، لنقم بتبسيط الجهة اليمنى:
2(a+ω)(b+ω)(c+ω)(d+ω)=2abcd+2ω(abcd+bcd+acd+abd)+2ω2(abc+bcd+acd+abd)+2ω3(abcd),2(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega) = 2abcd + 2\omega(abcd + bcd + acd + abd) + 2\omega^2(abc + bcd + acd + abd) + 2\omega^3(abcd),

وبما أن $\omega^3 = 1$ و $\omega \neq 1$، يُبسط الجزء الأخير إلى $2abcd$.

المعادلة النهائية بعد التبسيط هي:
3(abcd+bcd+acd+abd)+3(abc+bcd+acd+abd)+3(abc+abcd+acd+abd)+3(abc+abcd+bcd+acd)=2(abcd+abd+acd+bcd+abc+acd+abc+abd+abc+bcd+abd+acd).3(abcd + bcd + acd + abd) + 3(abc + bcd + acd + abd) + 3(abc + abcd + acd + abd) + 3(abc + abcd + bcd + acd) = 2(abcd + abd + acd + bcd + abc + acd + abc + abd + abc + bcd + abd + acd).

الآن نقوم بإلغاء الأعضاء المتشابهة من الجهتين اليمنى واليسرى:
3abc+3bcd+3acd+3abd=2abc+2bcd+2acd+2abd+2abc+2acd+2abc+2abd+2bcd+2abd+2acd+2bcd.3abc + 3bcd + 3acd + 3abd = 2abc + 2bcd + 2acd + 2abd + 2abc + 2acd + 2abc + 2abd + 2bcd + 2abd + 2acd + 2bcd.

تبسيط المعادلة يؤدي إلى:
abc+bcd+acd+abd=0.abc + bcd + acd + abd = 0.

الآن، لنعود إلى المعادلة الأصلية ونستخدم النتيجة التي توصلنا إليها:
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=2ω.\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega}.

نستخدم النتيجة لتحويل المعادلة إلى صيغة تحتوي على $abc + bcd + acd + abd$:
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=2ω⋅abc+bcd+acd+abdabc+bcd+acd+abd.\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega} \cdot \frac{abc + bcd + acd + abd}{abc + bcd + acd + abd}.

بتوسيع الجهة اليمنى، نحصل على:
abc+bcd+acd+abda(bc+bd+cd+1)+b(ac+ad+cd+1)+c(ab+ad+bd+1)+d(ab+ac+bc+1)=2ω.\frac{abc + bcd + acd + abd}{a(bc + bd + cd + 1) + b(ac + ad + cd + 1) + c(ab + ad + bd + 1) + d(ab + ac + bc + 1)} = \frac{2}{\omega}.

الآن، بما أننا نعلم أن $abc + bcd + acd + abd = 0$، يُصبح المقام في الجهة اليمنى صفراً:
0a(bc+bd+cd+1)+b(ac+ad+cd+1)+c(ab+ad+bd+1)+d(ab+ac+bc+1)=2ω.\frac{0}{a(bc + bd + cd + 1) + b(ac + ad + cd + 1) + c(ab + ad + bd + 1) + d(ab + ac + bc + 1)} = \frac{2}{\omega}.

هذا يعني أن المعامل الأيسر يكون صفراً:
0=2ω.0 = \frac{2}{\omega}.

لكن هذا مستحيل، لذا نستنتج أن هذا النوع من الأعداد لا يمكن أن يحدث.

بالتالي، إذا كانت الإجابة المعطاة هي 2، فإن قيمة المتغير المجهول $X$ تكون أيضاً 2.

المزيد من المعلومات

نريد حل المعادلة
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=2ω.\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega}.

لنقم بتبسيط الفراغات في المقامات باستخدام القاعدة $(x – y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 – y^3$ حيث $x = \omega$ و $y = -a$، ونحصل على:
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=ω3−a3(a+ω)(b+ω)(c+ω)(d+ω).\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{\omega^3 – a^3}{(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega)}.

نستخدم الشرط المعطى $\omega^3 = 1$، لنحصل على:
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=1−a3(a+ω)(b+ω)(c+ω)(d+ω).\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{1 – a^3}{(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega)}.

الآن، نعلم أن $\omega \neq 1$، لذا يمكننا ضرب الطرفين في المعادلة بـ $(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega)$ لتبسيط الجهة اليمنى:
(b+ω)(c+ω)(d+ω)+(a+ω)(c+ω)(d+ω)+(a+ω)(b+ω)(d+ω)+(a+ω)(b+ω)(c+ω)=2(a+ω)(b+ω)(c+ω)(d+ω).(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(c + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(b + \omega)(d + \omega) + (a + \omega)(b + \omega)(c + \omega) = 2(a + \omega)(b + \omega)(c + \omega)(d + \omega).

نقوم بتوسيع الجهة اليمنى ونستخدم الشرط $\omega^3 = 1$ للتبسيط، ونحصل على:
3(abcd+bcd+acd+abd)+3(abc+bcd+acd+abd)+3(abc+abcd+acd+abd)+3(abc+abcd+bcd+acd)=2(abcd+abd+acd+bcd+abc+acd+abc+abd+abc+bcd+abd+acd).3(abcd + bcd + acd + abd) + 3(abc + bcd + acd + abd) + 3(abc + abcd + acd + abd) + 3(abc + abcd + bcd + acd) = 2(abcd + abd + acd + bcd + abc + acd + abc + abd + abc + bcd + abd + acd).

تم إلغاء الأعضاء المتشابهة من الجهتين اليمنى واليسرى للحصول على المعادلة التالية:
abc+bcd+acd+abd=0.abc + bcd + acd + abd = 0.

الآن، نعود إلى المعادلة الأصلية:
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=2ω.\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega}.

نستخدم النتيجة التي حصلنا عليها لتحويل المعادلة إلى صيغة تحتوي على $abc + bcd + acd + abd$:
1a+ω+1b+ω+1c+ω+1d+ω=2ω⋅abc+bcd+acd+abdabc+bcd+acd+abd.\frac{1}{a + \omega} + \frac{1}{b + \omega} + \frac{1}{c + \omega} + \frac{1}{d + \omega} = \frac{2}{\omega} \cdot \frac{abc + bcd + acd + abd}{abc + bcd + acd + abd}.

تبسيط الجهة اليمنى يؤدي إلى:
abc+bcd+acd+abda(bc+bd+cd+1)+b(ac+ad+cd+1)+c(ab+ad+bd+1)+d(ab+ac+bc+1)=2ω.\frac{abc + bcd + acd + abd}{a(bc + bd + cd + 1) + b(ac + ad + cd + 1) + c(ab + ad + bd + 1) + d(ab + ac + bc + 1)} = \frac{2}{\omega}.

الآن، بما أننا نعلم أن $abc + bcd + acd + abd = 0$، يُصبح المقام في الجهة اليمنى صفراً:
0a(bc+bd+cd+1)+b(ac+ad+cd+1)+c(ab+ad+bd+1)+d(ab+ac+bc+1)=2ω.\frac{0}{a(bc + bd + cd + 1) + b(ac + ad + cd + 1) + c(ab + ad + bd + 1) + d(ab + ac + bc + 1)} = \frac{2}{\omega}.

هذا يعني أن المعامل الأيسر يكون صفراً:
0=2ω.0 = \frac{2}{\omega}.

لكن هذا مستحيل، لذا نستنتج أن هذا النوع من الأعداد لا يمكن أن يحدث.

بالتالي، إذا كانت الإجابة المعطاة هي 2، فإن قيمة المتغير المجهول $X$ تكون أيضاً 2.

القوانين المستخدمة:

  1. قاعدة تنسيق مكعب الفارقة: $(x – y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 – y^3$.
  2. الشروط المعطاة: $\omega^3 = 1$ و $\omega \neq 1$.
  3. ضرب الطرفين في معادلة بتعبير مشترك للتبسيط.
  4. إلغاء الأعضاء المتشابهة في المعادلة.
  5. استخدام الشروط المعطاة لتبسيط التعابير.

اخر تحديث 14/01/2024
0