حلاً لمعادلة رياضية: القيمة القصوى لـ x (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطلوبة هي حساب القيمة القصوى للمتغير $x$ في ضوء المعادلة التالية:

$\frac{x}{5} + \frac{1}{5x} = \frac{1}{2}$

لحل هذه المعادلة، يمكننا بدايةً ضرب كل جانب من الجهات بمضاعف مشترك لتبسيط المعادلة. وفي هذه الحالة، المضاعف المشترك هو $10x$.

بالتالي، نحصل على:

$10x \times \left( \frac{x}{5} \right) + 10x \times \left( \frac{1}{5x} \right) = 10x \times \left( \frac{1}{2} \right)$

التبسيط يؤدي إلى إلغاء الأسماء في المقامات:

$2x^2 + 2 = 5x$

ثم نقل جميع الأعضاء إلى جهة واحدة للمعادلة للوصول إلى المعادلة الرباعية القياسية:

$2x^2 – 5x + 2 = 0$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلة الرباعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2$ و $b = -5$ و $c = 2$.

بتعويض هذه القيم في الصيغة، نحصل على قيمتين للمتغير $x$:

$x = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$

أو

$x = \frac{5 – \sqrt{5}}{4}$

الآن، للعثور على القيمة القصوى لـ $x$، نحتاج إلى اختيار القيمة الأكبر من بين القيمتين المحسوبتين. وبتحليل القيمتين، نجد أن:

$\frac{5 + \sqrt{5}}{4} > \frac{5 – \sqrt{5}}{4}$

لذا، القيمة القصوى لـ $x$ هي:

$x = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$

وهذه هي الإجابة على المسألة الرياضية المقدمة.

لحل المعادلة المعطاة $\frac{x}{5} + \frac{1}{5x} = \frac{1}{2}$، نقوم بخطوات التالية باستخدام بعض القوانين والتحويلات الرياضية:

1. ضرب الطرفين في 10x:
   قمنا بضرب كل جانب من الجهتين في 10x لتجنب الكسور وتبسيط المعادلة.

   $10x \times \left( \frac{x}{5} \right) + 10x \times \left( \frac{1}{5x} \right) = 10x \times \left( \frac{1}{2} \right)$

   يؤدي ذلك إلى الحصول على المعادلة التالية:

   $2x^2 + 2 = 5x$

2. تحويل المعادلة إلى المعادلة الرباعية القياسية:
   قمنا بنقل جميع المصطلحات إلى الجهة اليمنى للمعادلة للحصول على المعادلة الرباعية القياسية:

   $2x^2 – 5x + 2 = 0$

3. استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلة الرباعية:
   نستخدم صيغة الحل العامة للمعادلة الرباعية:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

   حيث $a = 2$ و $b = -5$ و $c = 2$.

4. تحليل القيم:
   نحصل على قيمتين للـ $x$:

   $x = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$

   أو

   $x = \frac{5 – \sqrt{5}}{4}$

5. اختيار القيمة الأكبر:
   نقارن القيمتين ونجد أن:

   $\frac{5 + \sqrt{5}}{4} > \frac{5 – \sqrt{5}}{4}$

   لذلك نختار:

   $x = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$

القوانين المستخدمة:

• ضرب الطرفين في عنصر مشترك: لتجنب الكسور وتبسيط المعادلة.
• تحويل المعادلة إلى المعادلة الرباعية القياسية: للسماح بحلاً أسهل.
• استخدام صيغة الحل العامة للمعادلة الرباعية: للعثور على قيم للمتغير.
• تحليل القيم واختيار القيمة الأكبر: لاختيار القيمة القصوى للمتغير $x$.