حلاً لمعادلات خطية متفاعلة

نعطيك الآن نفس المسألة باللغة العربية، ومن ثم سنقوم بحل المعادلات:

إذا كانت معادلات النظام هي:
$5x + y = 15$
$5y + z = 25$
$2z + x = 2$

نقوم بحل المعادلات للعثور على قيمة $x$.

لنقم بذلك، نستخدم أسلوب حذف التبادل بين المعادلات. نبدأ بطرح المعادلة الأولى من الثانية للقضاء على $y$، ومن ثم نستخدم النتيجة لحذف $y$ من المعادلة الثالثة.

المعادلة الأولى:
$5x + y = 15$

المعادلة الثانية:
$5y + z = 25$

نحسب $5 \times$ المعادلة الأولى ونطرحها من المعادلة الثانية:
$5(5x + y) – (5y + z) = 5 \times 15 – 25$

يعطي:
$25x + 5y – 5y – z = 75 – 25$

يتم إلغاء $y$:
$25x – z = 50$

المعادلة الثالثة:
$2z + x = 2$

نضرب المعادلة الأولى في 2 ونجمعها مع المعادلة الثالثة:
$2(25x – z) + (2z + x) = 2 \times 50 + 2$

يعطي:
$50x – 2z + 2z + x = 100 + 2$

يتم إلغاء $z$:
$51x = 102$

نقسم على 51 للعثور على قيمة $x$:
$x = \frac{102}{51} = 2$

إذاً، قيمة $x$ هي 2.

لحل هذه المسألة الرياضية، سنقوم باتباع عدة خطوات باستخدام قوانين الجبر وتقنيات حل المعادلات. سنستخدم القوانين التالية:

1. طريقة حذف:
   يمكننا ضرب إحدى المعادلات بعدد لجعل معامل أحد المتغيرات في إحدى المعادلات يتساوى مع معامل نفس المتغير في المعادلة الأخرى، ثم نقوم بطرح المعادلات للقضاء على هذا المتغير.

2. جمع المعادلات:
   نستخدم هذه الطريقة لجمع أو طرح المعادلات بحيث يتم إلغاء متغير معين وتبسيط النظام.

الآن، سنقوم بحل المعادلات:

المعادلة الأولى:
$5x + y = 15$

المعادلة الثانية:
$5y + z = 25$

المعادلة الثالثة:
$2z + x = 2$

خطوة 1: حل المعادلات 1 و 2 باستخدام طريقة حذف:

نضرب المعادلة الأولى في 5 لجعل معامل $y$ يتساوى مع المعامل في المعادلة الثانية:
$25x + 5y = 75$

ثم نطرح المعادلة الثانية:
$25x + 5y – (5y + z) = 75 – 25$

نحصل على:
$25x – z = 50$

خطوة 2: حل المعادلة 3 بجمعها مع ناتج المعادلة 1 و 2:

نجمع المعادلة الثالثة مع ناتج المعادلة السابقة:
$2z + x + (25x – z) = 2 + 50$

نحصل على:
$26x = 102$

نقسم على 26 للعثور على قيمة $x$:
$x = 4$

إذاً، قيمة $x$ هي 4. يمكننا الآن استخدام هذه القيمة في أي من المعادلات للتحقق.