حلاً لمعادلات النسب الرياضية (مسألة رياضيات)

إذا كانت $x$، $y$، و $z$ هي أعداد صحيحة إيجابية، وتنطبق العلاقة $3x = 4y = 7z$، فإن أقل قيمة ممكنة للتعبير $x – y + z$ هي:

لحل هذه المسألة، سنقوم أولاً بتحليل العلاقة المعطاة $3x = 4y = 7z$ للعثور على قيم ممكنة لـ $x$، $y$، و $z$، ثم سنقوم بحساب قيمة التعبير $x – y + z$.

لنجد الحلا للعلاقة المعطاة، نقوم بتحليلها إلى جزئين:

1. $3x = 4y$
2. $4y = 7z$

لحل المعادلة الأولى، نجمع العلاقتين:

$3x = 4y$

ثم نحسب قيم ممكنة لـ $x$ و $y$، ونجد أن أحد الأزواج الحلول هو $x = 4$ و $y = 3$، حيث يتوفر التساوي بينهما.

الآن، نستخدم قيمة $y = 3$ لحل المعادلة الثانية:

$4y = 7z$

ونجد أن $z = \frac{4}{7} \times 3 = \frac{12}{7}$.

الآن لدينا قيمًا لـ $x$، $y$، و $z$ وهي على التوالي $4$، $3$، و $\frac{12}{7}$.

أخيرًا، نستخدم هذه القيم لحساب قيمة التعبير $x – y + z$:

$x – y + z = 4 – 3 + \frac{12}{7} = \frac{25}{7}$

إذًا، أقل قيمة ممكنة للتعبير $x – y + z$ عندما تكون $x$، $y$، و $z$ هي أعداد صحيحة إيجابية تحقق العلاقة المعطاة هي $\frac{25}{7}$.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل والتوضيح، وسنستخدم بعض القوانين والمفاهيم الرياضية في هذا السياق.

العلاقة المعطاة هي $3x = 4y = 7z$، وهذا يعني أن لدينا نسبًا متساوية بين هذه الأعداد. لحل المسألة، سنقوم بتحليل هذه النسب.

الخطوة 1: حل المعادلة الأولى $3x = 4y$

باستخدام قانون التوازن في النسب، نجمع الطرفين:

$3x = 4y$

نقوم بتقسيم كل طرف على $3$ للحصول على النسبة المتساوية:

$x = \frac{4}{3}y$

هنا، نرى أن $x$ هو ثوابت مضروبة في $y$ بنسبة $4:3$.

الخطوة 2: حل المعادلة الثانية $4y = 7z$

نستخدم نفس الطريقة للعثور على نسبة بين $y$ و $z$:

$4y = 7z$

نقوم بتقسيم كل طرف على $4$:

$y = \frac{7}{4}z$

هنا، نرى أن $y$ هو ثوابت مضروبة في $z$ بنسبة $7:4$.

الخطوة 3: تحديد قيم $x$، $y$، و $z$

لحساب القيم الصحيحة لـ $x$، $y$، و $z$، نختار أحد الأعداد الصحيحة، وفي هذه الحالة نختار $y = 3$ لأنها تبدو مناسبة.

$x = \frac{4}{3} \times 3 = 4$

$z = \frac{7}{4} \times 3 = \frac{21}{4}$

لذا، القيم الصحيحة هي $x = 4$، $y = 3$، $z = \frac{21}{4}$.

الخطوة 4: حساب قيمة $x – y + z$

نستخدم القيم لحساب التعبير المطلوب:

$x – y + z = 4 – 3 + \frac{21}{4} = \frac{25}{4}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون التوازن في النسب: عندما تكون هناك نسبة متساوية بين عدة كميات، يمكننا استخدام قانون التوازن لتحليل هذه النسبة والعثور على القيم.
2. قانون القسمة: يتم استخدامه لتقسيم الطرفين في المعادلات الرياضية للعثور على القيم.
3. اختيار القيم الصحيحة: نقوم باختيار قيم مناسبة لحل المعادلات وضمان أنها تحقق الشروط المطلوبة.

إن هذه القوانين تساعد في فهم العلاقات بين الأعداد وحل المسائل الرياضية المعقدة.