حلاً لمعادلات الأعداد باستخدام قوانين (مسألة رياضيات)

المسألة الحسابية تتعلق بقيم الأعداد $a$ و $b$ حيث أن $a + b = 10$ و $ab = 17$. نطرح أنفسنا بالسؤال حول قيمة التعبير $a^3 + b^3$.

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام معادلة الجذر التربيعي للتخلص من أحد المتغيرات. بناءً على المعادلتين المعطاة، يمكننا حساب قيمة $a$ و $b$ بالطريقة التالية:

من هنا، يمكننا حساب إحدى القيم، فلنفترض أننا حسبنا قيمة $a$:

ثم نستخدم هذه القيمة في المعادلة الثانية:

وباستخدام القيمة التي حسبناها لـ $a$، نحصل على:

نقوم بحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $b$، ومن ثم نستخدمها لحساب قيمة $a$.

بعد حساب قيم $a$ و $b$، يمكننا استخدامها لحساب $a^3 + b^3$. نعلم أن:

نستخدم القيم التي حسبناها لحساب الناتج النهائي. يجب مراعاة ترتيب العمليات الحسابية للحصول على القيمة الصحيحة للتعبير $a^3 + b^3$.

لحل المسألة، نستخدم المعادلات المعطاة:

1. $a + b = 10$
2. $ab = 17$

لنحسب قيمة $a$ أولاً، نستخدم المعادلة (1):

$a = 10 – b$

نستخدم هذه القيمة في المعادلة (2):

$(10 – b)b = 17$

نقوم بتوسيع هذه المعادلة:

$10b – b^2 = 17$

نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون في صورة معادلة من الدرجة الثانية:

$b^2 – 10b + 17 = 0$

نستخدم القاعدة العامة لحساب جذور المعادلة التربيعية:

$b = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 – 4(1)(17)}}{2(1)}$

$b = \frac{10 \pm \sqrt{100 – 68}}{2}$

$b = \frac{10 \pm \sqrt{32}}{2}$

$b = \frac{10 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$b = 5 \pm 2\sqrt{2}$

لكن يجب أن تكون قيمة $b$ حقيقية، لذا نستبعد الجذر الخيالي، ونأخذ القيمة:

$b = 5 – 2\sqrt{2}$

الآن، نستخدم هذه القيمة في المعادلة (1) لحساب قيمة $a$:

$a = 10 – b = 10 – (5 – 2\sqrt{2}) = 5 + 2\sqrt{2}$

الآن، لحساب $a^3 + b^3$، نستخدم الصيغة:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

نستخدم القيم التي حسبناها لحساب الناتج النهائي.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة حساب الجذور للمعادلة التربيعية: يمكن حساب الجذور باستخدام الصيغة العامة: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.

2. توسيع المعادلة: تحول المعادلة إلى شكل مقياسي أو قياسي لسهولة الحساب.

3. قاعدة حساب مجموع وحاصل ضرب الجذور: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$.

يتمثل الحل في استخدام هذه القوانين بطريقة منظمة للوصول إلى الإجابة المطلوبة.