حلاً لمسألة المصفوفة العكسية والتعبير الرياضي (مسألة رياضيات)

إذا كانت المصفوفة $\mathbf{A}$ لديها معكوس، وكان $(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}$، فإنه يُطلب منا إيجاد قيمة التعبير
$\mathbf{A} + X \mathbf{A}^{-1}$
حيث أعلن مسبقاً أن الإجابة هي 6. لنقم بحل هذه المسألة.

أولاً، نستخدم العبارة المعطاة $(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}$ للعثور على القيم الخاصة للمصفوفة $\mathbf{A}$، حيث تكون $(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})$ و $(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I})$ غير قابلتين للاستنتاج. إذاً، نجد أن القيم الخاصة هي 2 و 4.

الآن، نعلم أن المصفوفة $\mathbf{A}$ قابلة للاستنتاج، لذا يمكننا استخدام معادلة المصفوفة العكسية:
$\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{0}.$

نقوم بضرب المعادلة السابقة في المصفوفة $\mathbf{A}$ من اليمين:
$\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I})\mathbf{A} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{0} \mathbf{A}.$

نعلم أنه $\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$، لذا:
$\mathbf{I}(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}.$

نوسع هذه المعادلة ونحلها للحصول على قيم الـ $X$:
$(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}.$

نفس العبارة المعطاة في السؤال، لكننا نستخدمها هنا للعثور على قيم الـ $X$:
$\mathbf{A} + X \mathbf{A}^{-1} = 6.$

نعوض في هذه المعادلة باستخدام القيم الخاصة ونحل للحصول على قيمة $X$:
$2 + X \left(\frac{1}{2}\right) = 6$
$X + 4 = 6$
$X = 2.$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 2.

لنقم بفحص التفاصيل الإضافية لحل المسألة ونعود إلى المعطيات المعروضة. المعطيات الرئيسية هي أن لدينا مصفوفة $\mathbf{A}$ ذات معكوس، ونعلم أن $(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}$، ونريد حساب التعبير التالي:
$\mathbf{A} + X \mathbf{A}^{-1}$
حيث تم الإعلان مسبقًا أن الإجابة هي 6، ونريد حساب قيمة المجهول $X$.

الخطوة الأولى في الحل تكمن في الاستفادة من معطيات $(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}$ للعثور على القيم الخاصة للمصفوفة $\mathbf{A}$. يتم ذلك عن طريق حل المعادلة الخاصة:
$(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}.$

وبالتالي، يتبين أن القيم الخاصة للمصفوفة $\mathbf{A}$ هي 2 و 4.

بعد ذلك، نستفيد من حقيقة وجود معكوس للمصفوفة $\mathbf{A}$، ونستخدم المعادلة التي تعبر عن المصفوفة العكسية:
$\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{0}.$

بضرب المعادلة في المصفوفة $\mathbf{A}$ من اليمين، نحصل على:
$\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I})\mathbf{A} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{0} \mathbf{A}.$

ونستخدم الحقيقة أن $\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ للحصول على:
$\mathbf{I}(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}.$

نوسع هذه المعادلة ونحلها للحصول على قيم الـ $X$:
$(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – 4 \mathbf{I}) = \mathbf{0}.$

الآن، نستخدم العبارة المعطاة في السؤال:
$\mathbf{A} + X \mathbf{A}^{-1} = 6.$

نقوم بتعويض القيم الخاصة للمصفوفة $\mathbf{A}$ ونحسب قيمة $X$:
$2 + X \left(\frac{1}{2}\right) = 6 \implies X + 4 = 6 \implies X = 2.$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتضمن:

1. معادلة المصفوفة العكسية: $\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{I}$
2. معادلة القيم الخاصة: $(\mathbf{A} – \lambda \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}$ حيث $\lambda$ هي القيمة الخاصة و $\mathbf{v}$ هو القاعدة الخاصة.
3. توسيع المعادلات المصفوفية.
4. استخدام الخصائص الجبرية للمصفوفات.
5. حل المعادلات الجبرية للحصول على قيمة المجهول.