حلاً لمسألة المصفوفات الرياضية بالجبر الخطي (مسألة رياضيات)

المعطيات:
لنفترض أن $\mathbf{M}$ هي مصفوفة، وأن $\mathbf{v}$ و$\mathbf{w}$ هما متجهان بحيث:
$\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ X \end{pmatrix} \quad \text{و} \quad \mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}.$

السؤال:
احسب قيمة التالي:
$\mathbf{M} (\mathbf{v} + 3 \mathbf{w}).$

الحل:
للحساب، نبدأ بتوسيع $\mathbf{M} (\mathbf{v} + 3 \mathbf{w})$:
$\mathbf{M} (\mathbf{v} + 3 \mathbf{w}) = \mathbf{M} \mathbf{v} + 3 \mathbf{M} \mathbf{w}.$

نستخدم المعطيات المعطاة في السؤال لحساب قيم $\mathbf{M} \mathbf{v}$ و $3 \mathbf{M} \mathbf{w}$:
$\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ X \end{pmatrix} \quad \text{و} \quad 3 \mathbf{M} \mathbf{w} = 3 \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -15 \end{pmatrix}.$

الآن، نقوم بجمع هاتين القيمتين:
$\mathbf{M} \mathbf{v} + 3 \mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ X \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ X – 15 \end{pmatrix}.$

إذاً، نستنتج أن $\mathbf{M} (\mathbf{v} + 3 \mathbf{w}) = \begin{pmatrix} -4 \ X – 15 \end{pmatrix}$.

إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال هي $\begin{pmatrix}-4\-12\end{pmatrix}$، يمكننا مقارنة القيمتين للوصول إلى قيمة $X$:
$X – 15 = -12 \implies X = 3.$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 3.

لحل هذه المسألة، سنستخدم خصائص الجمع والضرب للمصفوفات، ونطبقها على المعادلات المعطاة. لنركز على الخطوات الرئيسية:

1. المعادلات المعطاة:
   $\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ X \end{pmatrix} \quad \text{و} \quad \mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}.$

2. توسيع العبارة المطلوب حسابها:
   $\mathbf{M} (\mathbf{v} + 3 \mathbf{w}) = \mathbf{M} \mathbf{v} + 3 \mathbf{M} \mathbf{w}.$

3. استخدام المعادلات المعطاة لحساب قيم $\mathbf{M} \mathbf{v}$ و $3 \mathbf{M} \mathbf{w}$:
   $\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ X \end{pmatrix} \quad \text{و} \quad 3 \mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -6 \\ -15 \end{pmatrix}.$

4. جمع القيمتين للحصول على الإجابة:
   $\mathbf{M} \mathbf{v} + 3 \mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ X \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ X – 15 \end{pmatrix}.$

5. مقارنة الناتج مع الإجابة المعطاة في السؤال:
   $\begin{pmatrix}-4 \\ -12\end{pmatrix}.$

6. استنتاج قيمة المتغير المجهول $X$:
   $X – 15 = -12 \implies X = 3.$

القوانين المستخدمة:

• ضرب المصفوفة في متجه: يتم ضرب المصفوفة في كل عنصر من المتجه على حدة.
• جمع المصفوفات والمتجهات: يتم جمع أو طرح العناصر المتماثلة.

هذه العمليات تعتبر أساسية في الجبر الخطي وتساعد في حل مجموعة متنوعة من المسائل الرياضية التي تتضمن مصفوفات ومتجهات.