حلاً لمسألة القواعد الفردية (مسألة رياضيات)

كتب فيني كل الأرقام الفردية في النظام ذو القاعدة $b$ وقام بجمعها، حيث كانت النتيجة $34_b$. ما هي قيمة $b$؟

الحل:

لفهم هذه المشكلة، يجب أن نتذكر كيفية تمثيل الأعداد في أنظمة معينة. في هذه الحالة، نتعامل مع النظام ذو القاعدة $b$. لنكتب الأعداد الفردية في هذا النظام:

$0, 1, 2, 3, …, b-2, b-1$

الآن، عند جمع هذه الأعداد، نحصل على نتيجة في النظام نفسه. في هذه الحالة، الناتج كان $34_b$. لنقم بفك هذا الناتج إلى مجموعة من الأعداد:

$3b^1 + 4b^0$

وبما أن هذه الأعداد هي جميع الأرقام الفردية في النظام ذو القاعدة $b$، يمكننا كتابتها بشكل عام كالتالي:

$3b + 4$

الآن، نحن نريد أن يكون هذا المجموع يمثل العدد $34$ في النظام العشري. لذا، نقوم بحل المعادلة:

$3b + 4 = 34$

من هنا، نقوم بطرح $4$ من الجهتين للحصول على:

$3b = 30$

ثم نقسم على $3$ للحصول على القيمة المطلوبة:

$b = 10$

إذا كانت القاعدة $b$ هي $10$، وهي القاعدة العشرية، يتمثل الناتج الذي كتبه فيني باستخدام الأرقام من $0$ إلى $9$.

بالتأكيد، دعونا نستكمل تفاصيل الحل مع التركيز على القوانين المستخدمة.

المسألة تطلب منا العثور على قاعدة النظام ($b$) التي تجعل جميع الأرقام الفردية تضاف معًا لتشكل الرقم $34_b$.

لنقم بكتابة الأعداد الفردية في النظام ذو القاعدة $b$:

$0, 1, 2, 3, …, b-2, b-1$

ثم نقوم بجمعها في النظام نفسه للحصول على $34_b$. لتفكيك هذا الرقم، نقوم بتمثيله كمجموعة من الأعداد:

$3b^1 + 4b^0$

وبما أننا نتعامل مع الأعداد الفردية، يمكن كتابتها بشكل عام كـ:

$3b + 4$

الآن، نحن نضع هذا المجموع في النظام العشري لنحصل على المعادلة:

$3b + 4 = 34$

القانون المستخدم هنا هو قانون المعادلات الخطية. نقوم بطرح الثابت من الجهتين:

$3b = 30$

ثم نقسم على المعامل الرئيسي:

$b = 10$

القانون المستخدم هنا هو قانون القسمة. بموجب هذا القانون، يمكننا قسم كلا الطرفين من المعادلة للعثور على القيمة المطلوبة.

الخطوة الأخيرة تأتي من الإجابة نفسها، حيث أننا نعلم أن القاعدة $b$ هي $10$، وهي القاعدة العشرية، والتي يتمثل فيها الناتج الذي كتبه فيني باستخدام الأرقام من $0$ إلى $9$.